Номер 26, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 26, страница 7.

Условие.

26. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{a}{b}-1$;

2) $\frac{8}{x^2}-\frac{3}{x}+2$;

3) $5-\frac{4m+5n}{n}$;

4) $\frac{4c+3}{c-1}-3$;

5) $\frac{a^2+b^2}{2a-b}+2a+b$;

6) $m-\frac{25}{m-5}-5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы представить выражение $\frac{a}{b} - 1$ в виде дроби, необходимо привести его члены к общему знаменателю. Общий знаменатель в данном случае $b$.

Представим число $1$ как дробь со знаменателем $b$: $1 = \frac{b}{b}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{a - b}{b}$

Ответ: $\frac{a - b}{b}$

2)

Для выражения $\frac{8}{x^2} - \frac{3}{x} + 2$ наименьший общий знаменатель для всех членов равен $x^2$.

Приведем каждую часть выражения к этому знаменателю:

$\frac{3}{x} = \frac{3 \cdot x}{x \cdot x} = \frac{3x}{x^2}$

$2 = \frac{2}{1} = \frac{2 \cdot x^2}{1 \cdot x^2} = \frac{2x^2}{x^2}$

Теперь сложим и вычтем полученные дроби:

$\frac{8}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{2x^2}{x^2} = \frac{8 - 3x + 2x^2}{x^2}$

Для стандартного вида запишем многочлен в числителе в порядке убывания степеней:

$\frac{2x^2 - 3x + 8}{x^2}$

Ответ: $\frac{2x^2 - 3x + 8}{x^2}$

3)

Для выражения $5 - \frac{4m + 5n}{n}$ общий знаменатель равен $n$.

Представим число $5$ как дробь со знаменателем $n$: $5 = \frac{5n}{n}$.

Выполним вычитание. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему ее числителю, поэтому числитель второй дроби нужно взять в скобки.

$5 - \frac{4m + 5n}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{4m + 5n}{n} = \frac{5n - (4m + 5n)}{n}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{5n - 4m - 5n}{n}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-4m}{n}$

Ответ: $\frac{-4m}{n}$

4)

Для выражения $\frac{4c + 3}{c - 1} - 3$ общий знаменатель равен $c - 1$.

Представим число $3$ как дробь со знаменателем $c - 1$:

$3 = \frac{3(c - 1)}{c - 1} = \frac{3c - 3}{c - 1}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{4c + 3}{c - 1} - \frac{3c - 3}{c - 1} = \frac{(4c + 3) - (3c - 3)}{c - 1}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{4c + 3 - 3c + 3}{c - 1} = \frac{(4c - 3c) + (3 + 3)}{c - 1} = \frac{c + 6}{c - 1}$

Ответ: $\frac{c + 6}{c - 1}$

5)

Для выражения $\frac{a^2 + b^2}{2a - b} + 2a + b$ общий знаменатель равен $2a - b$.

Представим сумму $(2a + b)$ как дробь со знаменателем $(2a - b)$:

$2a + b = \frac{(2a + b)(2a - b)}{2a - b}$

В числителе мы получили формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

Теперь сложим дроби:

$\frac{a^2 + b^2}{2a - b} + \frac{4a^2 - b^2}{2a - b} = \frac{(a^2 + b^2) + (4a^2 - b^2)}{2a - b}$

Упростим числитель:

$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2 - b^2}{2a - b} = \frac{5a^2}{2a - b}$

Ответ: $\frac{5a^2}{2a - b}$

6)

В выражении $m - \frac{25}{m - 5} - 5$ сначала сгруппируем целые части: $(m - 5)$.

Выражение принимает вид: $(m - 5) - \frac{25}{m - 5}$.

Общий знаменатель равен $m - 5$. Приведем к нему первое слагаемое:

$m - 5 = \frac{(m - 5)(m - 5)}{m - 5} = \frac{(m - 5)^2}{m - 5}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(m - 5)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 5 + 5^2 = m^2 - 10m + 25$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{m^2 - 10m + 25}{m - 5} - \frac{25}{m - 5} = \frac{(m^2 - 10m + 25) - 25}{m - 5}$

Упростим числитель:

$\frac{m^2 - 10m + 25 - 25}{m - 5} = \frac{m^2 - 10m}{m - 5}$

Ответ: $\frac{m^2 - 10m}{m - 5}$