Номер 24, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 24, страница 7.

Условие.

24. Представьте в виде дроби выражения:

1) $\frac{4}{a} + \frac{7}{b};$

2) $\frac{9}{m} - \frac{5}{mn};$

3) $\frac{4}{12xy} - \frac{11}{18xy};$

4) $\frac{5m}{3ab} + \frac{2n}{5a^2b} - \frac{7p}{2ab^2};$

5) $\frac{3a - 4b}{a} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab};$

6) $\frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} - \frac{2c - 9}{bc}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для выражения $\frac{4}{a} + \frac{7}{b}$ наименьшим общим знаменателем будет произведение знаменателей, то есть $ab$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй дроби — на $a$:

$\frac{4}{a} + \frac{7}{b} = \frac{4 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{7 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{4b}{ab} + \frac{7a}{ab}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{4b + 7a}{ab}$

Для удобства записи принято располагать слагаемые в алфавитном порядке:

$\frac{7a + 4b}{ab}$

Ответ: $\frac{7a + 4b}{ab}$

2) В выражении $\frac{9}{m} - \frac{5}{mn}$ знаменатели $m$ и $mn$. Наименьший общий знаменатель — это $mn$. Вторая дробь уже имеет этот знаменатель.

Приведем первую дробь к знаменателю $mn$, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $n$:

$\frac{9 \cdot n}{m \cdot n} - \frac{5}{mn} = \frac{9n}{mn} - \frac{5}{mn}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{9n - 5}{mn}$

Ответ: $\frac{9n - 5}{mn}$

3) В выражении $\frac{4}{12xy} - \frac{11}{18xy}$ знаменатели имеют общую переменную часть $xy$. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов 12 и 18.

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Таким образом, общий знаменатель равен $36xy$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой $36xy / 12xy = 3$, для второй $36xy / 18xy = 2$.

$\frac{4 \cdot 3}{12xy \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{18xy \cdot 2} = \frac{12}{36xy} - \frac{22}{36xy} = \frac{12 - 22}{36xy} = \frac{-10}{36xy}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{-10 \div 2}{36xy \div 2} = \frac{-5}{18xy} = -\frac{5}{18xy}$

Ответ: $-\frac{5}{18xy}$

4) Для выражения $\frac{5m}{3ab} + \frac{2n}{5a^2b} - \frac{7p}{2ab^2}$ найдем общий знаменатель.

НОК для числовых коэффициентов (3, 5, 2) равно $3 \cdot 5 \cdot 2 = 30$.

Для переменных частей берем каждую переменную с наибольшим показателем степени: $a^2$ и $b^2$.

Общий знаменатель: $30a^2b^2$.

Определим дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{30a^2b^2}{3ab} = 10ab$

Для второй дроби: $\frac{30a^2b^2}{5a^2b} = 6b$

Для третьей дроби: $\frac{30a^2b^2}{2ab^2} = 15a$

Умножим каждую дробь на ее дополнительный множитель:

$\frac{5m \cdot 10ab}{30a^2b^2} + \frac{2n \cdot 6b}{30a^2b^2} - \frac{7p \cdot 15a}{30a^2b^2} = \frac{50abm}{30a^2b^2} + \frac{12bn}{30a^2b^2} - \frac{105ap}{30a^2b^2}$

Объединим числители:

$\frac{50abm + 12bn - 105ap}{30a^2b^2}$

Ответ: $\frac{50abm + 12bn - 105ap}{30a^2b^2}$

5) В выражении $\frac{3a - 4b}{a} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab}$ общим знаменателем является $ab$.

Умножим первую дробь на дополнительный множитель $b$:

$\frac{(3a - 4b) \cdot b}{a \cdot b} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{3ab - 4b^2}{ab} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab}$

Сложим числители:

$\frac{3ab - 4b^2 + 8a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{8a^2 + 3ab}{ab}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $a$:

$\frac{a(8a + 3b)}{ab}$

Сократим дробь на $a$:

$\frac{8a + 3b}{b}$

Ответ: $\frac{8a + 3b}{b}$

6) В выражении $\frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} - \frac{2c - 9}{bc}$ наименьшим общим знаменателем является $bc^2$.

Умножим вторую дробь на дополнительный множитель $c$:

$\frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} - \frac{(2c - 9) \cdot c}{bc \cdot c} = \frac{3c^2 - 2c + 4}{bc^2} - \frac{2c^2 - 9c}{bc^2}$

Выполним вычитание числителей. Важно помнить, что минус перед дробью относится ко всему числителю второй дроби:

$\frac{(3c^2 - 2c + 4) - (2c^2 - 9c)}{bc^2} = \frac{3c^2 - 2c + 4 - 2c^2 + 9c}{bc^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(3c^2 - 2c^2) + (-2c + 9c) + 4 = c^2 + 7c + 4$

Итоговое выражение:

$\frac{c^2 + 7c + 4}{bc^2}$

Ответ: $\frac{c^2 + 7c + 4}{bc^2}$