Номер 17, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 17, страница 6.

Условие.

17. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x}{x}$;

2) $y = \frac{x-2}{x-2}$;

3) $y = x + \frac{x+1}{x+1}$;

4) $y = \frac{x-1}{x-1} - 2x$;

5) $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$;

6) $y = \frac{(x-2)^4}{(2-x)^3}$;

7) $y = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+2}$;

8) $y = \frac{4x^2 + 12x + 9}{2x + 3} - \frac{x^2 + 5x}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $y = \frac{x}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

При всех $x$ из области определения, выражение можно упростить: $y = \frac{x}{x} = 1$.

Таким образом, мы имеем функцию $y = 1$ с ограничением $x \neq 0$.

Графиком функции $y=1$ является прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$.

Из-за ограничения $x \neq 0$, точка с координатами $(0, 1)$ на этой прямой должна быть исключена (выколота).

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

2)

Дана функция $y = \frac{x - 2}{x - 2}$.

Область определения функции (ОДЗ): $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

При $x \neq 2$ выражение можно упростить: $y = \frac{x-2}{x-2} = 1$.

Функция принимает вид $y = 1$ при условии $x \neq 2$.

Графиком является прямая $y=1$, параллельная оси Ox. Точка на этой прямой, у которой абсцисса равна 2, должна быть выколота. Координаты этой точки: $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 1$ с выколотой точкой $(2, 1)$.

3)

Дана функция $y = x + \frac{x + 1}{x + 1}$.

Область определения функции (ОДЗ): $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

При $x \neq -1$ выражение можно упростить: $\frac{x+1}{x+1} = 1$. Функция принимает вид $y = x + 1$.

Графиком функции $y = x + 1$ является прямая.

Из-за ограничения $x \neq -1$, точка на этой прямой с абсциссой $-1$ должна быть выколота. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -1$ в упрощенное уравнение: $y = -1 + 1 = 0$. Координаты выколотой точки: $(-1, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 1$ с выколотой точкой $(-1, 0)$.

4)

Дана функция $y = \frac{x - 1}{x - 1} - 2x$.

Область определения функции (ОДЗ): $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

При $x \neq 1$ упростим выражение: $\frac{x-1}{x-1} = 1$. Функция принимает вид $y = 1 - 2x$.

Графиком функции $y = -2x + 1$ является прямая.

Так как $x \neq 1$, точка с абсциссой $1$ на этой прямой выколота. Найдем ее ординату: $y = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$. Координаты выколотой точки: $(1, -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 1 - 2x$ с выколотой точкой $(1, -1)$.

5)

Дана функция $y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

Область определения функции (ОДЗ): $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Упростим выражение, разложив числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Тогда $y = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$. При $x \neq 3$ сокращаем дробь и получаем $y = x + 3$.

Графиком функции является прямая $y = x + 3$.

Точка с абсциссой $x=3$ выколота. Найдем ее ординату: $y = 3 + 3 = 6$. Координаты выколотой точки: $(3, 6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(3, 6)$.

6)

Дана функция $y = \frac{(x - 2)^4}{(2 - x)^3}$.

Область определения функции (ОДЗ): $2 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Преобразуем знаменатель: $(2 - x)^3 = (-(x - 2))^3 = -1^3 \cdot (x - 2)^3 = -(x - 2)^3$.

Тогда функция примет вид $y = \frac{(x-2)^4}{-(x-2)^3}$. При $x \neq 2$ сокращаем дробь:

$y = -(x - 2)^{4-3} = -(x-2) = -x + 2$.

Графиком функции является прямая $y = -x + 2$.

Точка с абсциссой $x=2$ выколота. Найдем ее ординату: $y = -2 + 2 = 0$. Координаты выколотой точки: $(2, 0)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 2$ с выколотой точкой $(2, 0)$.

7)

Дана функция $y = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+2}$.

Область определения функции (ОДЗ): $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

При всех $x$ из области определения выражение равно нулю: $y = 0$.

Таким образом, мы имеем функцию $y = 0$ с ограничением $x \neq -2$.

Графиком функции $y=0$ является ось абсцисс (ось Ox).

Из-за ограничения $x \neq -2$, точка с координатами $(-2, 0)$ на этой прямой должна быть выколота.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 0$ (ось Ox) с выколотой точкой $(-2, 0)$.

8)

Дана функция $y = \frac{4x^2 + 12x + 9}{2x + 3} - \frac{x^2 + 5x}{x}$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1) $2x + 3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -1.5$.

2) $x \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим каждую дробь в выражении функции.

Первая дробь: числитель $4x^2 + 12x + 9$ является полным квадратом $(2x+3)^2$.

$\frac{4x^2 + 12x + 9}{2x + 3} = \frac{(2x+3)^2}{2x+3} = 2x + 3$ (при $x \neq -1.5$).

Вторая дробь: вынесем $x$ за скобки в числителе.

$\frac{x^2 + 5x}{x} = \frac{x(x+5)}{x} = x + 5$ (при $x \neq 0$).

Подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (2x + 3) - (x + 5) = 2x + 3 - x - 5 = x - 2$.

Графиком функции является прямая $y = x - 2$.

На этой прямой необходимо выколоть точки, абсциссы которых не входят в ОДЗ:

1) При $x = -1.5$, ордината выколотой точки $y = -1.5 - 2 = -3.5$. Координаты: $(-1.5, -3.5)$.

2) При $x = 0$, ордината выколотой точки $y = 0 - 2 = -2$. Координаты: $(0, -2)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с двумя выколотыми точками: $(-1.5, -3.5)$ и $(0, -2)$.