Номер 10, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 10, страница 4.

Условие.

10. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $3x + 4$;

2) $\frac{b-9}{8}$;

3) $\frac{8}{b-9}$;

4) $\frac{5+x}{3+x}$;

5) $\frac{3}{x^2-1}$;

6) $\frac{2}{x^2+1}$;

7) $\frac{4}{|x|-1}$;

8) $\frac{x}{|x|+2}$;

9) $\frac{x-2}{x^2+6x+9}$;

10) $\frac{4}{x-1} + \frac{7x}{x-4}$;

11) $\frac{7}{x(x-1)}$;

12) $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выражение $3x + 4$ является многочленом (линейной функцией). Такие выражения определены для любых действительных значений переменной, так как не содержат операций деления на переменную или извлечения корня.
Ответ: $x$ – любое число.

2) Выражение $\frac{b - 9}{8}$ является дробью, но его знаменатель — константа $8$, которая не равна нулю. Числитель $b - 9$ определен для любого $b$. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $b$.
Ответ: $b$ – любое число.

3) Выражение $\frac{8}{b - 9}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль.
$b - 9 = 0$
$b = 9$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $9$.
Ответ: $b \neq 9$.

4) Выражение $\frac{5 + x}{3 + x}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
$3 + x = 0$
$x = -3$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $-3$.
Ответ: $x \neq -3$.

5) Выражение $\frac{3}{x^2 - 1}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $1$ и $-1$.
Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

6) В выражении $\frac{2}{x^2 + 1}$ знаменатель равен $x^2 + 1$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ – любое число.

7) В выражении $\frac{4}{|x| - 1}$ знаменатель $|x| - 1$ не должен быть равен нулю.
$|x| - 1 = 0$
$|x| = 1$
Это уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = -1$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $1$ и $-1$.
Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

8) В выражении $\frac{x}{|x| + 2}$ знаменатель равен $|x| + 2$. Так как модуль числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), то $|x| + 2 \ge 2$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ – любое число.

9) В выражении $\frac{x - 2}{x^2 + 6x + 9}$ знаменатель $x^2 + 6x + 9$ не должен быть равен нулю. Заметим, что знаменатель является полным квадратом.
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
$(x + 3)^2 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $-3$.
Ответ: $x \neq -3$.

10) Выражение $\frac{4}{x - 1} + \frac{7x}{x - 4}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей одновременно не равны нулю.
1) $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
2) $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
Оба условия должны выполняться.
Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

11) В выражении $\frac{7}{x(x - 1)}$ знаменатель $x(x - 1)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x - 1 = 0 \implies x = 1$
Следовательно, недопустимыми значениями являются $x=0$ и $x=1$.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

12) Выражение $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ является многоэтажной дробью. Ограничения накладываются двумя знаменателями.
1) Знаменатель внутренней дроби: $x \neq 0$.
2) Знаменатель основной дроби: $1 + \frac{1}{x} \neq 0$. Решим уравнение $1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $0$ и $-1$.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.