Номер 14, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 14, страница 5.

Условие.

14. Сократите дробь:

1) $\frac{4a + 8b}{4a}$;

2) $\frac{5x - 10y}{3x - 6y}$;

3) $\frac{x^2 - 25}{2x - 10}$;

4) $\frac{6x^2 - 3x}{4 - 8x}$;

5) $\frac{m^2 - 16}{m^2 + 8m + 16}$;

6) $\frac{b^5 - b^3}{b^2 - b^4}$;

7) $\frac{a^3 - 27}{8a - 24}$;

8) $\frac{6a^2 + 6a + 6}{18a^3 - 18}$;

9) $\frac{ax - ay - 3x + 3y}{9 - a^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{4a + 8b}{4a}$
Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе: $4a + 8b = 4(a + 2b)$.
Подставим полученное выражение в дробь: $\frac{4(a + 2b)}{4a}$.
Теперь сократим общий множитель 4 в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{4}(a + 2b)}{\cancel{4}a} = \frac{a + 2b}{a}$.
Ответ: $\frac{a + 2b}{a}$

2) $\frac{5x - 10y}{3x - 6y}$
Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки 5, а в знаменателе 3.
$5x - 10y = 5(x - 2y)$
$3x - 6y = 3(x - 2y)$
Получаем дробь: $\frac{5(x - 2y)}{3(x - 2y)}$.
Сократим общий множитель $(x - 2y)$:
$\frac{5\cancel{(x - 2y)}}{3\cancel{(x - 2y)}} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

3) $\frac{x^2 - 25}{2x - 10}$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2x - 10 = 2(x - 5)$.
Получаем дробь: $\frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x - 5)}$.
Сократим общий множитель $(x - 5)$:
$\frac{\cancel{(x - 5)}(x + 5)}{2\cancel{(x - 5)}} = \frac{x + 5}{2}$.
Ответ: $\frac{x + 5}{2}$

4) $\frac{6x^2 - 3x}{4 - 8x}$
В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$: $6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 4: $4 - 8x = 4(1 - 2x)$.
Получаем дробь: $\frac{3x(2x - 1)}{4(1 - 2x)}$.
Заметим, что $1 - 2x = -(2x - 1)$. Перепишем дробь: $\frac{3x(2x - 1)}{-4(2x - 1)}$.
Сократим общий множитель $(2x - 1)$:
$\frac{3x\cancel{(2x - 1)}}{-4\cancel{(2x - 1)}} = -\frac{3x}{4}$.
Ответ: $-\frac{3x}{4}$

5) $\frac{m^2 - 16}{m^2 + 8m + 16}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4)$.
Знаменатель является полным квадратом, свернем его по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $m^2 + 8m + 16 = (m + 4)^2$.
Получаем дробь: $\frac{(m - 4)(m + 4)}{(m + 4)^2}$.
Сократим общий множитель $(m + 4)$:
$\frac{(m - 4)\cancel{(m + 4)}}{(m + 4)^{\cancel{2}}} = \frac{m - 4}{m + 4}$.
Ответ: $\frac{m - 4}{m + 4}$

6) $\frac{b^5 - b^3}{b^2 - b^4}$
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: $b^5 - b^3 = b^3(b^2 - 1)$.
Знаменатель: $b^2 - b^4 = b^2(1 - b^2)$.
Получаем дробь: $\frac{b^3(b^2 - 1)}{b^2(1 - b^2)}$.
Заметим, что $b^2 - 1 = -(1 - b^2)$. Перепишем дробь: $\frac{b^3(b^2 - 1)}{-b^2(b^2 - 1)}$.
Сократим общие множители $b^2$ и $(b^2 - 1)$:
$\frac{b^{\cancel{3}}\cancel{(b^2 - 1)}}{-\cancel{b^2}\cancel{(b^2 - 1)}} = \frac{b}{-1} = -b$.
Ответ: $-b$

7) $\frac{a^3 - 27}{8a - 24}$
Разложим числитель по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$: $a^3 - 27 = a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 8: $8a - 24 = 8(a - 3)$.
Получаем дробь: $\frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{8(a - 3)}$.
Сократим общий множитель $(a - 3)$:
$\frac{\cancel{(a - 3)}(a^2 + 3a + 9)}{8\cancel{(a - 3)}} = \frac{a^2 + 3a + 9}{8}$.
Ответ: $\frac{a^2 + 3a + 9}{8}$

8) $\frac{6a^2 + 6a + 6}{18a^3 - 18}$
В числителе вынесем общий множитель 6: $6a^2 + 6a + 6 = 6(a^2 + a + 1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 18: $18a^3 - 18 = 18(a^3 - 1)$.
Выражение $a^3 - 1$ разложим по формуле разности кубов: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Получаем дробь: $\frac{6(a^2 + a + 1)}{18(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Сократим общий множитель $(a^2 + a + 1)$ и числовые коэффициенты $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$:
$\frac{\cancel{6}\cancel{(a^2 + a + 1)}}{\cancel{18}_3(a - 1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{3(a - 1)}$.
Ответ: $\frac{1}{3(a - 1)}$

9) $\frac{ax - ay - 3x + 3y}{9 - a^2}$
Разложим числитель на множители методом группировки:
$ax - ay - 3x + 3y = (ax - ay) - (3x - 3y) = a(x - y) - 3(x - y) = (a - 3)(x - y)$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $9 - a^2 = (3 - a)(3 + a)$.
Получаем дробь: $\frac{(a - 3)(x - y)}{(3 - a)(3 + a)}$.
Заметим, что $a - 3 = -(3 - a)$. Перепишем дробь: $\frac{-(3 - a)(x - y)}{(3 - a)(3 + a)}$.
Сократим общий множитель $(3 - a)$:
$\frac{-\cancel{(3 - a)}(x - y)}{\cancel{(3 - a)}(3 + a)} = \frac{-(x - y)}{3 + a} = \frac{y - x}{a + 3}$.
Ответ: $\frac{y - x}{a + 3}$