Номер 18, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 18, страница 6.

Условие.

18. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+5}{x+5} = 1; $

2) $ \frac{x^2-4}{x-2} = 4; $

3) $ \frac{x-8}{|x|-8} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\frac{x+5}{x+5} = 1$.

Это рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем ОДЗ:
$x + 5 \neq 0$
$x \neq -5$

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1 при любом значении переменной, при котором знаменатель не равен нулю. В данном случае выражение $\frac{x+5}{x+5}$ равно 1 для всех $x$, удовлетворяющих ОДЗ.

Таким образом, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$

Подставим разложенный числитель в уравнение:
$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 4$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$, а значит $x-2 \neq 0$:
$x + 2 = 4$

Решим полученное линейное уравнение:
$x = 4 - 2$
$x = 2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x = 2$ области допустимых значений. Условие ОДЗ: $x \neq 2$. Найденный корень не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) Решим уравнение $\frac{x - 8}{|x| - 8} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти потенциальный корень:
$x - 8 = 0$
$x = 8$

2. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль при найденном значении $x = 8$.
Знаменатель: $|x| - 8$.
Подставим $x=8$:
$|8| - 8 = 8 - 8 = 0$

Поскольку при $x=8$ знаменатель обращается в ноль, это значение не является корнем уравнения (деление на ноль недопустимо). Других значений $x$, при которых числитель равен нулю, нет.

Таким образом, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.