Номер 8, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 8, страница 4.

Условие.

8. Разложите на множители:

1) $6a^3 - 6a;$

2) $5x^3 - 5xy^2;$

3) $8a^2b^2 - 72a^2c^8;$

4) $3x^2 - 48xy + 192y^2;$

5) $-8a^5 + 8a^3 - 2a;$

6) $5a^3 - 40b^6;$

7) $a - 3b + a^2 - 9b^2;$

8) $ac^4 - c^4 - ac^2 + c^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) В выражении $6a^3 - 6a$ вынесем общий множитель $6a$ за скобки: $6a(a^2 - 1)$. Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - 1^2$, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Получаем: $6a(a - 1)(a + 1)$.
Ответ: $6a(a - 1)(a + 1)$.

2) В выражении $5x^3 - 5xy^2$ вынесем общий множитель $5x$ за скобки: $5x(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках $x^2 - y^2$ — это формула разности квадратов. Разложим ее на множители: $5x(x - y)(x + y)$.
Ответ: $5x(x - y)(x + y)$.

3) В выражении $8a^2b^2 - 72a^2c^8$ вынесем общий множитель $8a^2$ за скобки: $8a^2(b^2 - 9c^8)$. Выражение в скобках $b^2 - 9c^8$ является разностью квадратов, так как $9c^8 = (3c^4)^2$. Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $8a^2(b - 3c^4)(b + 3c^4)$.
Ответ: $8a^2(b - 3c^4)(b + 3c^4)$.

4) В выражении $3x^2 - 48xy + 192y^2$ вынесем общий числовой множитель 3 за скобки: $3(x^2 - 16xy + 64y^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как $x^2 - 16xy + 64y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (8y) + (8y)^2$. Используем формулу $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$. Получаем: $3(x - 8y)^2$.
Ответ: $3(x - 8y)^2$.

5) В выражении $-8a^5 + 8a^3 - 2a$ вынесем общий множитель $-2a$ за скобки, чтобы старший коэффициент в скобках был положительным: $-2a(4a^4 - 4a^2 + 1)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4a^4 - 4a^2 + 1 = (2a^2)^2 - 2 \cdot (2a^2) \cdot 1 + 1^2$. Применяем формулу $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$: $-2a(2a^2 - 1)^2$.
Ответ: $-2a(2a^2 - 1)^2$.

6) В выражении $5a^3 - 40b^6$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(a^3 - 8b^6)$. Выражение в скобках является разностью кубов, так как $a^3 - 8b^6 = a^3 - (2b^2)^3$. Используем формулу разности кубов $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$: $5(a - 2b^2)(a^2 + a \cdot 2b^2 + (2b^2)^2) = 5(a - 2b^2)(a^2 + 2ab^2 + 4b^4)$.
Ответ: $5(a - 2b^2)(a^2 + 2ab^2 + 4b^4)$.

7) Для разложения выражения $a - 3b + a^2 - 9b^2$ используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые: $(a - 3b) + (a^2 - 9b^2)$. Вторая скобка является разностью квадратов: $a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$. Подставим обратно в выражение: $(a - 3b) + (a - 3b)(a + 3b)$. Теперь вынесем общий множитель $(a - 3b)$ за скобки: $(a - 3b)(1 + (a + 3b)) = (a - 3b)(a + 3b + 1)$.
Ответ: $(a - 3b)(a + 3b + 1)$.

8) Для разложения выражения $ac^4 - c^4 - ac^2 + c^2$ используем метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемым: $(ac^4 - c^4) - (ac^2 - c^2)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $c^4(a - 1) - c^2(a - 1)$. Теперь вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки: $(a - 1)(c^4 - c^2)$. Множитель $(c^4 - c^2)$ также можно разложить, вынеся за скобки $c^2$: $c^2(c^2 - 1)$. Выражение $c^2 - 1$ является разностью квадратов: $(c - 1)(c + 1)$. Собираем все множители вместе: $c^2(a - 1)(c - 1)(c + 1)$.
Ответ: $c^2(a - 1)(c - 1)(c + 1)$.