Номер 5, страница 3 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 5, страница 3.

Условие.

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 + 8a + 16$;

2) $9x^2 - 6x + 1$;

3) $121m^2 - 88mn + 16n^2$;

4) $24ab + 36a^2 + 4b^2$;

5) $a^6 - 4a^3b + 4b^2$;

6) $25p^{10} + q^8 + 10p^5q^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) $a^2 + 8a + 16$

Представим данный трехчлен в виде $x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $a^2$ является квадратом выражения $a$.
Третий член $16$ является квадратом числа $4$, то есть $16 = 4^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot a \cdot 4 = 8a$.
Так как средний член совпадает и имеет знак плюс, используем формулу квадрата суммы.
$a^2 + 8a + 16 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + (4)^2 = (a+4)^2$.

Ответ: $(a+4)^2$

2) $9x^2 - 6x + 1$

Представим данный трехчлен в виде $x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $9x^2$ является квадратом выражения $3x$, то есть $9x^2 = (3x)^2$.
Третий член $1$ является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$.
Так как средний член совпадает по модулю и имеет знак минус, используем формулу квадрата разности.
$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + (1)^2 = (3x-1)^2$.

Ответ: $(3x-1)^2$

3) $121m^2 - 88mn + 16n^2$

Представим данный трехчлен в виде $x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $121m^2$ является квадратом выражения $11m$, то есть $121m^2 = (11m)^2$.
Третий член $16n^2$ является квадратом выражения $4n$, то есть $16n^2 = (4n)^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (11m) \cdot (4n) = 88mn$.
Так как средний член совпадает по модулю и имеет знак минус, используем формулу квадрата разности.
$121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m)^2 - 2 \cdot (11m) \cdot (4n) + (4n)^2 = (11m - 4n)^2$.

Ответ: $(11m - 4n)^2$

4) $24ab + 36a^2 + 4b^2$

Сначала переставим члены, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $36a^2 + 24ab + 4b^2$.
Представим данный трехчлен в виде $x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $36a^2$ является квадратом выражения $6a$, то есть $36a^2 = (6a)^2$.
Третий член $4b^2$ является квадратом выражения $2b$, то есть $4b^2 = (2b)^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (6a) \cdot (2b) = 24ab$.
Так как средний член совпадает и имеет знак плюс, используем формулу квадрата суммы.
$36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a)^2 + 2 \cdot (6a) \cdot (2b) + (2b)^2 = (6a + 2b)^2$.

Ответ: $(6a + 2b)^2$

5) $a^6 - 4a^3b + 4b^2$

Представим данный трехчлен в виде $x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член $a^6$ является квадратом выражения $a^3$, так как $a^6 = (a^3)^2$.
Третий член $4b^2$ является квадратом выражения $2b$, то есть $4b^2 = (2b)^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (a^3) \cdot (2b) = 4a^3b$.
Так как средний член совпадает по модулю и имеет знак минус, используем формулу квадрата разности.
$a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3)^2 - 2 \cdot (a^3) \cdot (2b) + (2b)^2 = (a^3 - 2b)^2$.

Ответ: $(a^3 - 2b)^2$

6) $25p^{10} + q^8 + 10p^5q^4$

Сначала переставим члены, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8$.
Представим данный трехчлен в виде $x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $25p^{10}$ является квадратом выражения $5p^5$, так как $25p^{10} = (5p^5)^2$.
Третий член $q^8$ является квадратом выражения $q^4$, так как $q^8 = (q^4)^2$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго выражений: $2 \cdot (5p^5) \cdot (q^4) = 10p^5q^4$.
Так как средний член совпадает и имеет знак плюс, используем формулу квадрата суммы.
$25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 = (5p^5)^2 + 2 \cdot (5p^5) \cdot (q^4) + (q^4)^2 = (5p^5 + q^4)^2$.

Ответ: $(5p^5 + q^4)^2$