Номер 27, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 27, страница 7.

Условие.

27. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a + b} + \frac{b}{b - a}$;

2) $\frac{x + 7}{3x + 12} - \frac{2}{x} + \frac{7x + 40}{3x^2 + 12x}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a + b} + \frac{b}{b - a}$

Для начала, приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и раскладывается как $(a-b)(a+b)$. Знаменатель третьей дроби $b-a$ можно представить как $-(a-b)$.

$\frac{a^2 + b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{a + b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a^2 + b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{a + b} - \frac{b}{a - b}$

Общий знаменатель для всех дробей — это $(a-b)(a+b)$. Приведем все дроби к этому знаменателю, домножив числители и знаменатели на недостающие множители:

$\frac{a^2 + b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}$

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(a^2 + b^2) - b(a-b) - b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + b^2 - ab + b^2 - ab - b^2}{(a-b)(a+b)}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a-b)(a+b)}$

Числитель $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности, то есть $(a-b)^2$.

$\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:

$\frac{a-b}{a+b}$

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

2) $\frac{x + 7}{3x + 12} - \frac{2}{x} + \frac{7x + 40}{3x^2 + 12x}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.

$3x + 12 = 3(x+4)$

$3x^2 + 12x = 3x(x+4)$

Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:

$\frac{x + 7}{3(x + 4)} - \frac{2}{x} + \frac{7x + 40}{3x(x + 4)}$

Общий знаменатель для всех дробей — это $3x(x+4)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

$\frac{(x+7)x}{3(x+4)x} - \frac{2 \cdot 3(x+4)}{x \cdot 3(x+4)} + \frac{7x + 40}{3x(x + 4)}$

$\frac{x(x+7)}{3x(x+4)} - \frac{6(x+4)}{3x(x+4)} + \frac{7x + 40}{3x(x+4)}$

Объединим дроби в одну:

$\frac{x(x+7) - 6(x+4) + (7x + 40)}{3x(x+4)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x^2 + 7x - 6x - 24 + 7x + 40}{3x(x+4)} = \frac{x^2 + (7x - 6x + 7x) + (-24 + 40)}{3x(x+4)}$

$\frac{x^2 + 8x + 16}{3x(x+4)}$

Числитель $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы, то есть $(x+4)^2$.

$\frac{(x+4)^2}{3x(x+4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+4)$:

$\frac{x+4}{3x}$

Ответ: $\frac{x+4}{3x}$