Номер 28, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 28, страница 8.

Условие.

28. Выполните умножение:

1) $\frac{4x}{y} \cdot \frac{y}{12x}$;

2) $\frac{a^3b}{15c} \cdot \left(-\frac{3c}{a^2b^2}\right)$;

3) $\frac{24p^6}{35q^4} \cdot \frac{49q}{16p^4}$;

4) $18y^3 \cdot \frac{4x^2}{9y^5}$;

5) $\frac{28m^5}{23n^4} \cdot 46n^6$;

6) $\frac{2a^4b}{9c^2d} \cdot \frac{15a^2d^5}{16b^3c} \cdot \frac{12c^3b^2}{35a^5d^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
$ \frac{4x}{y} \cdot \frac{y}{12x} = \frac{4x \cdot y}{y \cdot 12x} $
В числителе и знаменателе есть общие множители $x$ и $y$, которые можно сократить. Также сократим числовые коэффициенты 4 и 12 на их общий делитель 4.
$ \frac{4xy}{12xy} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $

2) Выполним умножение дробей, учитывая знак минус у второй дроби. Результат будет отрицательным.
$ \frac{a^3b}{15c} \cdot (-\frac{3c}{a^2b^2}) = - \frac{a^3b \cdot 3c}{15c \cdot a^2b^2} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $.
Сократим переменные, используя правило деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ \frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a $
$ \frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $
$ \frac{c}{c} = 1 $
Собираем все части вместе:
$ - \frac{1}{5} \cdot a \cdot \frac{1}{b} \cdot 1 = -\frac{a}{5b} $
Ответ: $ -\frac{a}{5b} $

3) Перемножим числители и знаменатели данных дробей:
$ \frac{24p^6}{35q^4} \cdot \frac{49q}{16p^4} = \frac{24 \cdot 49 \cdot p^6 \cdot q}{35 \cdot 16 \cdot q^4 \cdot p^4} $
Сначала сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{24}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{3}{2} $
$ \frac{49}{35} = \frac{7 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7}{5} $
Их произведение: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{21}{10} $.
Теперь сократим переменные:
$ \frac{p^6}{p^4} = p^{6-4} = p^2 $
$ \frac{q}{q^4} = q^{1-4} = q^{-3} = \frac{1}{q^3} $
Объединяем полученные результаты:
$ \frac{21}{10} \cdot p^2 \cdot \frac{1}{q^3} = \frac{21p^2}{10q^3} $
Ответ: $ \frac{21p^2}{10q^3} $

4) Чтобы умножить целое выражение на дробь, нужно это выражение умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$ 18y^3 \cdot \frac{4x^2}{9y^5} = \frac{18y^3 \cdot 4x^2}{9y^5} $
Сократим коэффициенты: $ \frac{18}{9} = 2 $.
$ \frac{2y^3 \cdot 4x^2}{y^5} = \frac{8x^2y^3}{y^5} $
Сократим степени переменной $y$:
$ \frac{y^3}{y^5} = y^{3-5} = y^{-2} = \frac{1}{y^2} $
Итоговый результат:
$ 8x^2 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{8x^2}{y^2} $
Ответ: $ \frac{8x^2}{y^2} $

5) Умножим дробь на целое выражение:
$ \frac{28m^5}{23n^4} \cdot 46n^6 = \frac{28m^5 \cdot 46n^6}{23n^4} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{46}{23} = 2 $.
$ \frac{28m^5 \cdot 2n^6}{n^4} = 56m^5 \cdot \frac{n^6}{n^4} $
Сократим степени переменной $n$:
$ \frac{n^6}{n^4} = n^{6-4} = n^2 $
Получаем ответ:
$ 56m^5n^2 $
Ответ: $ 56m^5n^2 $

6) Для умножения трех дробей перемножаем все их числители и все их знаменатели.
$ \frac{2a^4b}{9c^2d} \cdot \frac{15a^2d^5}{16b^3c} \cdot \frac{12c^3b^2}{35a^5d^4} = \frac{2 \cdot 15 \cdot 12 \cdot a^4b \cdot a^2d^5 \cdot c^3b^2}{9 \cdot 16 \cdot 35 \cdot c^2d \cdot b^3c \cdot a^5d^4} $
Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные.
Коэффициенты: $ \frac{2 \cdot 15 \cdot 12}{9 \cdot 16 \cdot 35} = \frac{2 \cdot (3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 4)}{(3 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 7)} = \frac{1}{14} $.
Переменные в числителе: $ (a^4a^2)(bb^2)c^3d^5 = a^6b^3c^3d^5 $.
Переменные в знаменателе: $ a^5b^3(c^2c)(dd^4) = a^5b^3c^3d^5 $.
Разделим переменные числителя на переменные знаменателя:
$ \frac{a^6b^3c^3d^5}{a^5b^3c^3d^5} = a^{6-5}b^{3-3}c^{3-3}d^{5-5} = a^1b^0c^0d^0 = a $
Объединим результат для коэффициентов и переменных:
$ \frac{1}{14} \cdot a = \frac{a}{14} $
Ответ: $ \frac{a}{14} $