Номер 32, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 32, страница 9.

Условие.

32. Выполните деление:

1) $\frac{x+1}{3x} : \frac{x^2+2x+1}{9x^2}$;

2) $\frac{x^2-2x}{3x+3} : \frac{5x-10}{x+1}$;

3) $(n-7) : \frac{n^2-14n+49}{n^2-49}$;

4) $\frac{a^2-4b^2}{9a^2-b^2} : \frac{a^2+4ab+4b^2}{9a^2-6ab+b^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Правило деления дробей: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $.

Исходное выражение: $ \frac{x+1}{3x} : \frac{x^2+2x+1}{9x^2} $.

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:

$ \frac{x+1}{3x} \cdot \frac{9x^2}{x^2+2x+1} $

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. Выражение $ x^2+2x+1 $ является полным квадратом суммы по формуле $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $. В данном случае это $ (x+1)^2 $.

Подставим разложенное выражение в нашу дробь:

$ \frac{x+1}{3x} \cdot \frac{9x^2}{(x+1)^2} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $ (x+1) $ и $ (x+1)^2 $, в знаменателе остается $ (x+1) $. Сокращаем $ 3x $ и $ 9x^2 $, в числителе остается $ 3x $.

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{3x}{x+1} = \frac{3x}{x+1} $

Ответ: $ \frac{3x}{x+1} $

2)

Исходное выражение: $ \frac{x^2-2x}{3x+3} : \frac{5x-10}{x+1} $.

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{x^2-2x}{3x+3} \cdot \frac{x+1}{5x-10} $

Разложим на множители числители и знаменатели дробей, вынося общие множители за скобки:

• $ x^2-2x = x(x-2) $
• $ 3x+3 = 3(x+1) $
• $ 5x-10 = 5(x-2) $

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{x(x-2)}{3(x+1)} \cdot \frac{x+1}{5(x-2)} $

Сократим общие множители $ (x-2) $ и $ (x+1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{x}{15} $

Ответ: $ \frac{x}{15} $

3)

Исходное выражение: $ (n-7) : \frac{n^2-14n+49}{n^2-49} $.

Представим $ (n-7) $ в виде дроби $ \frac{n-7}{1} $ и заменим деление на умножение:

$ \frac{n-7}{1} \cdot \frac{n^2-49}{n^2-14n+49} $

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, используя формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов: $ n^2-49 = n^2-7^2 = (n-7)(n+7) $
• Квадрат разности: $ n^2-14n+49 = n^2-2 \cdot n \cdot 7 + 7^2 = (n-7)^2 $

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{n-7}{1} \cdot \frac{(n-7)(n+7)}{(n-7)^2} $

Объединим множители в числителе: $ (n-7)(n-7) = (n-7)^2 $. Выражение примет вид:

$ \frac{(n-7)^2(n+7)}{(n-7)^2} $

Сократим общий множитель $ (n-7)^2 $:

$ \frac{n+7}{1} = n+7 $

Ответ: $ n+7 $

4)

Исходное выражение: $ \frac{a^2-4b^2}{9a^2-b^2} : \frac{a^2+4ab+4b^2}{9a^2-6ab+b^2} $.

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a^2-4b^2}{9a^2-b^2} \cdot \frac{9a^2-6ab+b^2}{a^2+4ab+4b^2} $

Разложим все числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

• $ a^2-4b^2 = a^2-(2b)^2 = (a-2b)(a+2b) $ (разность квадратов)
• $ 9a^2-b^2 = (3a)^2-b^2 = (3a-b)(3a+b) $ (разность квадратов)
• $ 9a^2-6ab+b^2 = (3a)^2 - 2(3a)b + b^2 = (3a-b)^2 $ (квадрат разности)
• $ a^2+4ab+4b^2 = a^2 + 2a(2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2 $ (квадрат суммы)

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a-2b)(a+2b)}{(3a-b)(3a+b)} \cdot \frac{(3a-b)^2}{(a+2b)^2} $

Сократим общие множители. Сокращаем $ (a+2b) $ и $ (a+2b)^2 $, в знаменателе остается $ (a+2b) $. Сокращаем $ (3a-b) $ и $ (3a-b)^2 $, в числителе остается $ (3a-b) $.

$ \frac{(a-2b)}{(3a+b)} \cdot \frac{(3a-b)}{(a+2b)} = \frac{(a-2b)(3a-b)}{(3a+b)(a+2b)} $

Ответ: $ \frac{(a-2b)(3a-b)}{(a+2b)(3a+b)} $