Номер 37, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 37, страница 10.

Условие.

37. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения

$ \left( \frac{1}{a+3} - \frac{27}{a^3+27} + \frac{9}{a^2-3a+9} \right) \cdot \left( a - \frac{6a-9}{a+3} \right) $

не зависит от значения $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что значение данного выражения не зависит от a, мы его упростим. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Исходное выражение: $ \left( \frac{1}{a+3} - \frac{27}{a^3+27} + \frac{9}{a^2-3a+9} \right) \cdot \left( a - \frac{6a-9}{a+3} \right) $

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Таким образом, должны выполняться следующие условия:

1. $a+3 \neq 0 \implies a \neq -3$

2. $a^3+27 \neq 0$. Разложим на множители по формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$: $a^3+3^3=(a+3)(a^2-3a+9)$. Условие $a^3+27 \neq 0$ эквивалентно $a+3 \neq 0$ и $a^2-3a+9 \neq 0$.

3. $a^2-3a+9 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$. Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $a^2$ положителен (равен 1), выражение $a^2-3a+9$ всегда принимает положительные значения для любого действительного a.

Следовательно, область допустимых значений: $a \neq -3$.

Теперь упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Действие 1: Упрощение первой скобки.

$ \frac{1}{a+3} - \frac{27}{a^3+27} + \frac{9}{a^2-3a+9} $

Используя разложение $a^3+27 = (a+3)(a^2-3a+9)$, приведем дроби к общему знаменателю $(a+3)(a^2-3a+9)$:

$ \frac{1 \cdot (a^2-3a+9)}{(a+3)(a^2-3a+9)} - \frac{27}{(a+3)(a^2-3a+9)} + \frac{9 \cdot (a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a^2-3a+9) - 27 + 9(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{a^2-3a+9 - 27 + 9a+27}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a^2+(-3a+9a)+(9-27+27)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a^2+6a+9}{(a+3)(a^2-3a+9)} $

Числитель $a^2+6a+9$ является полным квадратом: $(a+3)^2$. Подставим его обратно в дробь:

$ \frac{(a+3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:

$ \frac{a+3}{a^2-3a+9} $

Действие 2: Упрощение второй скобки.

$ a - \frac{6a-9}{a+3} $

Приведем к общему знаменателю $(a+3)$:

$ \frac{a(a+3)}{a+3} - \frac{6a-9}{a+3} = \frac{a(a+3) - (6a-9)}{a+3} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{a^2+3a - 6a+9}{a+3} = \frac{a^2-3a+9}{a+3} $

Действие 3: Перемножение результатов.

Теперь перемножим упрощенные выражения из первого и второго действий:

$ \left( \frac{a+3}{a^2-3a+9} \right) \cdot \left( \frac{a^2-3a+9}{a+3} \right) $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{a+3}}{\cancel{a^2-3a+9}} \cdot \frac{\cancel{a^2-3a+9}}{\cancel{a+3}} = 1 $

В результате упрощения получилось число 1. Так как итоговое значение является константой, оно не зависит от переменной a, что и требовалось доказать.

Ответ: Упрощенное выражение равно 1. Так как результат является константой, он не зависит от значения переменной a.