Номер 40, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 40, страница 10.

Условие.

40. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $3x-2=7;$

2) $|x|=2;$

3) $x-1=x+3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Сначала найдем решение исходного уравнения $3x - 2 = 7$.
Прибавим к обеим частям уравнения 2:
$3x - 2 + 2 = 7 + 2$
$3x = 9$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
Множество решений данного уравнения состоит из одного числа: $\{3\}$.
Теперь нужно составить другое уравнение, которое имеет точно такое же решение. Можно взять простейшее уравнение $x = 3$ и выполнить над ним любое равносильное преобразование, например, прибавить к обеим частям число 5:
$x + 5 = 3 + 5$
$x + 5 = 8$
Уравнение $x + 5 = 8$ имеет единственный корень $x = 3$, следовательно, оно равносильно исходному.
Ответ: $x + 5 = 8$.

2) Найдем решения уравнения $|x| = 2$.
По определению модуля, это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно 2. Этому условию удовлетворяют два числа: $x = 2$ и $x = -2$.
Таким образом, множество решений исходного уравнения: $\{-2, 2\}$.
Нужно составить уравнение, которое имеет те же два корня. Одним из самых распространенных уравнений с такими корнями является квадратное уравнение $x^2 = 4$.
Решим его:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$
Множества решений уравнений $|x|=2$ и $x^2=4$ совпадают, значит, они равносильны.
Ответ: $x^2 = 4$.

3) Рассмотрим уравнение $x - 1 = x + 3$.
Попробуем найти его решение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$x - x = 3 + 1$
$0 \cdot x = 4$
$0 = 4$
В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы верным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений (множество его решений пустое).
Чтобы составить равносильное уравнение, нужно придумать любое другое уравнение, которое также не имеет решений. Например, уравнение, которое при упрощении приводит к противоречию.
Пример такого уравнения: $5x - 7 = 5x$.
$5x - 5x = 7$
$0 = 7$
Это также неверное равенство, поэтому уравнение $5x - 7 = 5x$ не имеет решений и равносильно исходному.
Ответ: $5x - 7 = 5x$.