Номер 41, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1 - номер 41, страница 10.

Условие.

41. Решите уравнение:

1) $\frac{x+4}{x-1}=0$;

2) $\frac{x^2-9}{x-3}=0$;

3) $\frac{x+5}{x^2-25}=0$;

4) $\frac{3}{x-4}-\frac{2}{x+4}=0$;

5) $\frac{x-1}{x+2}=\frac{2x-1}{2x+1}$;

6) $\frac{3x-5}{x-1}-\frac{2x-5}{x-2}=1$;

7) $\frac{x^2+9}{x^2-1}=\frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}$;

8) $\frac{1}{x^2-6x}+\frac{1}{x^2+6x}=\frac{2x}{x^2-36}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x+4}{x-1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Приравняем числитель к нулю:
$x+4=0$
$x=-4$.
Найденный корень $x=-4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4

2) $\frac{x^2-9}{x-3} = 0$

Найдем ОДЗ:
$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2-9=0$
$(x-3)(x+3)=0$.
Отсюда $x_1=3$ или $x_2=-3$.
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2=-3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -3

3) $\frac{x+5}{x^2-25} = 0$

Найдем ОДЗ:
$x^2-25 \neq 0 \implies (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Приравняем числитель к нулю:
$x+5=0$
$x=-5$.
Найденный корень $x=-5$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

4) $\frac{3}{x-4} - \frac{2}{x+4} = 0$

Найдем ОДЗ: $x-4 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$, следовательно $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Перенесем вторую дробь в правую часть:
$\frac{3}{x-4} = \frac{2}{x+4}$.
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$3(x+4) = 2(x-4)$
$3x+12 = 2x-8$
$3x-2x = -8-12$
$x=-20$.
Корень $x=-20$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -20

5) $\frac{x-1}{x+2} = \frac{2x-1}{2x+1}$

Найдем ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$ и $x \neq -0.5$.
Воспользуемся свойством пропорции:
$(x-1)(2x+1) = (2x-1)(x+2)$
$2x^2+x-2x-1 = 2x^2+4x-x-2$
$2x^2-x-1 = 2x^2+3x-2$
$-x-1 = 3x-2$
$-x-3x = -2+1$
$-4x = -1$
$x = \frac{1}{4}$.
Корень $x=0.25$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0.25

6) $\frac{3x-5}{x-1} - \frac{2x-5}{x-2} = 1$

Найдем ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq 2$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:
$\frac{(3x-5)(x-2) - (2x-5)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = 1$
$(3x-5)(x-2) - (2x-5)(x-1) = (x-1)(x-2)$
$(3x^2-6x-5x+10) - (2x^2-2x-5x+5) = x^2-2x-x+2$
$3x^2-11x+10 - 2x^2+7x-5 = x^2-3x+2$
$x^2-4x+5 = x^2-3x+2$
$-4x+5 = -3x+2$
$-4x+3x = 2-5$
$-x = -3$
$x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 3

7) $\frac{x^2+9}{x^2-1} = \frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x}$

Найдем ОДЗ: $x^2-1 \neq 0$, $x+1 \neq 0$, $1-x \neq 0$.
$(x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Преобразуем последнюю дробь: $\frac{5}{1-x} = \frac{-5}{-(1-x)} = \frac{-5}{x-1}$.
Уравнение примет вид:
$\frac{x^2+9}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1}$
Приведем правую часть к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:
$\frac{x^2+9}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-2)(x-1) + 5(x+1)}{(x-1)(x+1)}$
Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:
$x^2+9 = (x^2-x-2x+2) + (5x+5)$
$x^2+9 = x^2-3x+2+5x+5$
$x^2+9 = x^2+2x+7$
$9 = 2x+7$
$2 = 2x$
$x = 1$.
Корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

8) $\frac{1}{x^2-6x} + \frac{1}{x^2+6x} = \frac{2x}{x^2-36}$

Разложим знаменатели на множители для нахождения ОДЗ:
$x(x-6) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 6$.
$x(x+6) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -6$.
$(x-6)(x+6) \neq 0 \implies x \neq 6, x \neq -6$.
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq \pm 6$.
Запишем уравнение с разложенными знаменателями:
$\frac{1}{x(x-6)} + \frac{1}{x(x+6)} = \frac{2x}{(x-6)(x+6)}$
Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-6)(x+6)$:
$\frac{x+6+x-6}{x(x-6)(x+6)} = \frac{2x}{(x-6)(x+6)}$
$\frac{2x}{x(x-6)(x+6)} = \frac{2x}{(x-6)(x+6)}$
Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю $x(x-6)(x+6)$:
$\frac{2x - 2x \cdot x}{x(x-6)(x+6)} = 0$
$\frac{2x(1-x)}{x(x-6)(x+6)} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$2x(1-x) = 0$
$x_1 = 0$ или $x_2=1$.
Корень $x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1