Номер 36, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 36, страница 9.

Условие.

36. Докажите тождество:

1) $\frac{b+2}{b^2-2b+1} : \frac{b^2-4}{3b-3} - \frac{3}{b-2} = \frac{3}{1-b}$;

2) $\left(\frac{1}{(a-2)^2} + \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}\right) : \frac{2a}{(a^2-4)^2} = 2a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части.
Исходное выражение: $\frac{b+2}{b^2 - 2b + 1} : \frac{b^2 - 4}{3b - 3} - \frac{3}{b-2}$

Шаг 1: Разложение на множители.
Разложим числители и знаменатели дробей на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки:
$b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$ (квадрат разности)
$b^2 - 4 = (b-2)(b+2)$ (разность квадратов)
$3b - 3 = 3(b-1)$
Подставим разложения в выражение:
$\frac{b+2}{(b-1)^2} : \frac{(b-2)(b+2)}{3(b-1)} - \frac{3}{b-2}$

Шаг 2: Выполнение деления.
Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{b+2}{(b-1)^2} \cdot \frac{3(b-1)}{(b-2)(b+2)} - \frac{3}{b-2}$
Сократим общие множители $(b+2)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй, а также $(b-1)$ в числителе второй дроби и знаменателе первой:
$\frac{1}{b-1} \cdot \frac{3}{b-2} - \frac{3}{b-2} = \frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3}{b-2}$

Шаг 3: Выполнение вычитания.
Приведем дроби к общему знаменателю $(b-1)(b-2)$. Для этого вторую дробь домножим на $(b-1)$:
$\frac{3}{(b-1)(b-2)} - \frac{3(b-1)}{(b-1)(b-2)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{3 - 3(b-1)}{(b-1)(b-2)} = \frac{3 - 3b + 3}{(b-1)(b-2)} = \frac{6 - 3b}{(b-1)(b-2)}$

Шаг 4: Упрощение результата.
Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобку:
$\frac{3(2 - b)}{(b-1)(b-2)}$
Заметим, что $(2-b) = -(b-2)$. Подставим это в выражение и сократим дробь на $(b-2)$:
$\frac{-3(b - 2)}{(b-1)(b-2)} = \frac{-3}{b-1}$

Шаг 5: Сравнение с правой частью.
Преобразуем полученное выражение, внеся минус в знаменатель:
$\frac{-3}{b-1} = \frac{3}{-(b-1)} = \frac{3}{1-b}$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество $\frac{b+2}{b^2 - 2b + 1} : \frac{b^2 - 4}{3b - 3} - \frac{3}{b-2} = \frac{3}{1-b}$ доказано.

2)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна $2a$.
Исходное выражение: $(\frac{1}{(a-2)^2} + \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}) : \frac{2a}{(a^2-4)^2}$

Шаг 1: Упрощение выражения в скобках.
Сначала приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель средней дроби: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
Выражение в скобках: $\frac{1}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2}$
Общим знаменателем является $(a-2)^2(a+2)^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{1 \cdot (a+2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2} + \frac{2 \cdot (a-2)(a+2)}{(a-2)^2(a+2)^2} + \frac{1 \cdot (a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2}$
Теперь сложим числители:
$\frac{(a+2)^2 + 2(a-2)(a+2) + (a-2)^2}{(a-2)^2(a+2)^2}$
Числитель представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, где $x=(a+2)$ и $y=(a-2)$.
Свернем числитель: $((a+2) + (a-2))^2 = (a+2+a-2)^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Знаменатель можно свернуть как $((a-2)(a+2))^2 = (a^2-4)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{4a^2}{(a^2-4)^2}$.

Шаг 2: Выполнение деления.
Теперь подставим упрощенное выражение обратно и выполним деление:
$\frac{4a^2}{(a^2-4)^2} : \frac{2a}{(a^2-4)^2}$
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{4a^2}{(a^2-4)^2} \cdot \frac{(a^2-4)^2}{2a}$
Сократим одинаковый множитель $(a^2-4)^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{4a^2}{2a}$
Упростим полученное выражение:
$2a$

Шаг 3: Сравнение с правой частью.
В результате преобразований левой части мы получили $2a$, что в точности совпадает с правой частью тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество $(\frac{1}{(a-2)^2} + \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}) : \frac{2a}{(a^2-4)^2} = 2a$ доказано.