Номер 45, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 45, страница 11.

Условие.

45. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $ \frac{2a^{-5}c^{-3}d^{10}}{5xy^{-20}z^4} $ ;

2) $ \frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{2.6^0x^{-5}y^0z^{-30}} $ .

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{2a^{-5}c^{-3}d^{10}}{5xy^{-20}z^4} $, необходимо избавиться от степеней с отрицательными показателями. Для этого используется свойство степени $k^{-n} = \frac{1}{k^n}$. Согласно этому свойству, любой множитель можно перенести из числителя в знаменатель (или наоборот), изменив знак его показателя степени на противоположный.
Применим это правило к нашему выражению:
- Множитель $a^{-5}$ из числителя переносим в знаменатель, и он становится $a^5$.
- Множитель $c^{-3}$ из числителя переносим в знаменатель, и он становится $c^3$.
- Множитель $y^{-20}$ из знаменателя переносим в числитель, и он становится $y^{20}$.
Множители с положительными показателями степени ($2, d^{10}, 5, x, z^4$) остаются на своих местах.
В результате в числителе окажутся множители $2, d^{10}, y^{20}$, а в знаменателе — $5, x, z^4, a^5, c^3$.
Запишем итоговое выражение:
$ \frac{2d^{10}y^{20}}{5a^5c^3xz^4} $
Ответ: $ \frac{2d^{10}y^{20}}{5a^5c^3xz^4} $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{2,6^0x^{-5}y^0z^{-30}} $. Здесь нужно избавиться от степеней как с отрицательными, так и с нулевыми показателями.
Воспользуемся следующими свойствами степени:
- Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $k^0 = 1$.
- Свойство степени с отрицательным показателем: $k^{-n} = \frac{1}{k^n}$.
Сначала упростим множители с нулевым показателем:
$2,6^0 = 1$
$y^0 = 1$
Подставив эти значения, получим: $ \frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{1 \cdot x^{-5} \cdot 1 \cdot z^{-30}} = \frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{x^{-5}z^{-30}} $.
Теперь избавимся от отрицательных показателей, перемещая множители из числителя в знаменатель и наоборот:
- $3^{-1}$ из числителя переносим в знаменатель как $3^1$ или просто $3$.
- $b^{-5}$ из числителя переносим в знаменатель как $b^5$.
- $c^{-7}$ из числителя переносим в знаменатель как $c^7$.
- $x^{-5}$ из знаменателя переносим в числитель как $x^5$.
- $z^{-30}$ из знаменателя переносим в числитель как $z^{30}$.
Множитель $a^3$ остается в числителе, так как его показатель положительный.
Собираем итоговое выражение:
$ \frac{a^3x^5z^{30}}{3b^5c^7} $
Ответ: $ \frac{a^3x^5z^{30}}{3b^5c^7} $