Номер 52, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 52, страница 12.

Условие.

52. Найдите значение выражения:

1) $7^5 \cdot 7^{-7}$;

2) $10^{-12} \cdot 10^{15}$;

3) $5^{-12} : 5^{-16}$;

4) $3^{-14} \cdot 3^{-19} : 3^{-34}$;

5) $(13^{-9})^4 \cdot (13^{-2})^{-18}$;

6) $\frac{2^{-4} \cdot (2^{-3})^5}{(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения значения выражения $7^5 \cdot 7^{-7}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, складываем показатели степеней: $7^5 \cdot 7^{-7} = 7^{5 + (-7)} = 7^{-2}$. Далее, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, находим значение выражения: $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.

2) Для выражения $10^{-12} \cdot 10^{15}$ применяем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Складываем показатели: $10^{-12} \cdot 10^{15} = 10^{-12 + 15} = 10^3$. Вычисляем значение: $10^3 = 1000$.
Ответ: $1000$.

3) В выражении $5^{-12} : 5^{-16}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатель делителя из показателя делимого: $5^{-12} : 5^{-16} = 5^{-12 - (-16)} = 5^{-12 + 16} = 5^4$. Вычисляем значение: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Ответ: $625$.

4) Для выражения $3^{-14} \cdot 3^{-19} : 3^{-34}$ выполняем действия по порядку. Сначала умножение, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{-14} \cdot 3^{-19} = 3^{-14 + (-19)} = 3^{-33}$. Затем выполняем деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $3^{-33} : 3^{-34} = 3^{-33 - (-34)} = 3^{-33 + 34} = 3^1$. Результат равен $3$.
Ответ: $3$.

5) В выражении $(13^{-9})^4 \cdot (13^{-2})^{-18}$ сначала применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю. Для первого множителя: $(13^{-9})^4 = 13^{-9 \cdot 4} = 13^{-36}$. Для второго множителя: $(13^{-2})^{-18} = 13^{-2 \cdot (-18)} = 13^{36}$. Теперь перемножаем полученные степени: $13^{-36} \cdot 13^{36} = 13^{-36 + 36} = 13^0$. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице ($a^0=1$). Таким образом, $13^0 = 1$.
Ответ: $1$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{2^{-4} \cdot (2^{-3})^5}{(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3}}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $2^{-4} \cdot (2^{-3})^5 = 2^{-4} \cdot 2^{-3 \cdot 5} = 2^{-4} \cdot 2^{-15} = 2^{-4 + (-15)} = 2^{-19}$.
Знаменатель: $(2^{-8})^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-8 \cdot 2} \cdot 2^{-3} = 2^{-16} \cdot 2^{-3} = 2^{-16 + (-3)} = 2^{-19}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{2^{-19}}{2^{-19}}$. Так как числитель и знаменатель равны, их частное равно 1. Можно также применить свойство деления степеней: $2^{-19 - (-19)} = 2^{-19 + 19} = 2^0 = 1$.
Ответ: $1$.