Номер 57, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 57, страница 13.

Условие.

57. Упростите выражение:

1) $(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2;$

2) $\frac{x^{-2} - y^{-2}}{x^{-1} - y^{-1}};$

3) $\frac{x^{-2} - 5y^{-4}}{4x^{-1}y^{-2} + 4y^{-4}} + \frac{y^{-2}}{x^{-1} + y^{-2}};$

4) $\frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-6}} : \frac{x^{-2}y^{-2} + x^{-4}}{x^{-4}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Раскроем скобки в выражении $(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2$.

Первое слагаемое $(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2)$ является разностью квадратов. Применим формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=a^{-3}$, $y=2$:
$(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) = (a^{-3})^2 - 2^2 = a^{-6} - 4$.

Второе слагаемое $(a^{-3} + 3)^2$ является квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a^{-3}$, $y=3$:
$(a^{-3} + 3)^2 = (a^{-3})^2 + 2 \cdot a^{-3} \cdot 3 + 3^2 = a^{-6} + 6a^{-3} + 9$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(a^{-6} - 4) - (a^{-6} + 6a^{-3} + 9) = a^{-6} - 4 - a^{-6} - 6a^{-3} - 9$.

Приведем подобные слагаемые:
$(a^{-6} - a^{-6}) - 6a^{-3} + (-4 - 9) = 0 - 6a^{-3} - 13 = -6a^{-3} - 13$.

Ответ: $-6a^{-3} - 13$.

2) Упростим дробь $\frac{x^{-2} - y^{-2}}{x^{-1} - y^{-1}}$.

Числитель $x^{-2} - y^{-2}$ можно представить как разность квадратов, так как $x^{-2} = (x^{-1})^2$ и $y^{-2} = (y^{-1})^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^{-2} - y^{-2} = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})}{x^{-1} - y^{-1}}$.

Сократим общий множитель $(x^{-1} - y^{-1})$ в числителе и знаменателе:
$x^{-1} + y^{-1}$.

Ответ: $x^{-1} + y^{-1}$.

3) Упростим выражение $\frac{x^{-2} - 5y^{-4}}{4x^{-1}y^{-2} + 4y^{-4}} + \frac{y^{-2}}{x^{-1} + y^{-2}}$.

Рассмотрим знаменатель первой дроби $4x^{-1}y^{-2} + 4y^{-4}$. Вынесем за скобки общий множитель $4y^{-2}$:
$4x^{-1}y^{-2} + 4y^{-4} = 4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{x^{-2} - 5y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})} + \frac{y^{-2}}{x^{-1} + y^{-2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $4y^{-2}$:
$\frac{x^{-2} - 5y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})} + \frac{y^{-2} \cdot 4y^{-2}}{(x^{-1} + y^{-2}) \cdot 4y^{-2}} = \frac{x^{-2} - 5y^{-4} + 4y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})}$.

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$x^{-2} - 5y^{-4} + 4y^{-4} = x^{-2} - y^{-4}$.

Получим дробь: $\frac{x^{-2} - y^{-4}}{4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})}$.

Числитель $x^{-2} - y^{-4}$ является разностью квадратов $(x^{-1})^2 - (y^{-2})^2$. Разложим его на множители: $(x^{-1} - y^{-2})(x^{-1} + y^{-2})$.

Подставим в дробь: $\frac{(x^{-1} - y^{-2})(x^{-1} + y^{-2})}{4y^{-2}(x^{-1} + y^{-2})}$.

Сократим общий множитель $(x^{-1} + y^{-2})$:
$\frac{x^{-1} - y^{-2}}{4y^{-2}}$.

Для более простого вида преобразуем выражение, используя положительные степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y^2}}{\frac{4}{y^2}} = \frac{\frac{y^2 - x}{xy^2}}{\frac{4}{y^2}} = \frac{y^2-x}{xy^2} \cdot \frac{y^2}{4} = \frac{y^2-x}{4x}$.

Ответ: $\frac{y^2-x}{4x}$.

4) Упростим выражение $\frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-6}} : \frac{x^{-2}y^{-2} + x^{-4}}{x^{-4}}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-6}} \cdot \frac{x^{-4}}{x^{-2}y^{-2} + x^{-4}}$.

В знаменателе второй дроби $x^{-2}y^{-2} + x^{-4}$ вынесем общий множитель $x^{-2}$ за скобки:
$x^{-2}(y^{-2} + x^{-2})$.

Подставим это в выражение:
$\frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-6}} \cdot \frac{x^{-4}}{x^{-2}(y^{-2} + x^{-2})}$.

Сократим одинаковые множители $(x^{-2} + y^{-2})$ в числителе первой дроби и знаменателе второй:
$\frac{1}{x^{-6}} \cdot \frac{x^{-4}}{x^{-2}}$.

Выполним умножение и применим свойства степеней $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{x^{-4}}{x^{-6} \cdot x^{-2}} = \frac{x^{-4}}{x^{-6-2}} = \frac{x^{-4}}{x^{-8}} = x^{-4 - (-8)} = x^{-4+8} = x^4$.

Ответ: $x^4$.