Номер 63, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1 - номер 63, страница 14.

Условие.

63. Постройте в одной системе координат графики функций $y=\frac{6}{x}$ и $y=x+5$ и определите координаты точек их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных действия: построить графики указанных функций и найти координаты их точек пересечения.

1. Построение графиков функций

График функции $y = \frac{6}{x}$
Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Поскольку коэффициент $k=6$ положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат.
Составим таблицу значений для построения:
Если $x=1$, то $y=6$. Точка $(1, 6)$.
Если $x=2$, то $y=3$. Точка $(2, 3)$.
Если $x=3$, то $y=2$. Точка $(3, 2)$.
Если $x=6$, то $y=1$. Точка $(6, 1)$.
Если $x=-1$, то $y=-6$. Точка $(-1, -6)$.
Если $x=-2$, то $y=-3$. Точка $(-2, -3)$.
Если $x=-3$, то $y=-2$. Точка $(-3, -2)$.
Если $x=-6$, то $y=-1$. Точка $(-6, -1)$.

График функции $y = x + 5$
Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y = 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
При $y=0$, $0 = x + 5 \Rightarrow x = -5$. Точка $(-5, 0)$.
Соединив эти две точки, получим график прямой.

2. Определение координат точек пересечения

Координаты точек пересечения являются решением системы уравнений:
$ \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = x + 5 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:
$ \frac{6}{x} = x + 5 $

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$ 6 = x(x+5) $
$ 6 = x^2 + 5x $

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$ x^2 + 5x - 6 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни:
$ x_1 = -6 $
$ x_2 = 1 $

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = x + 5$.
Для $x_1 = -6$:
$ y_1 = -6 + 5 = -1 $
Следовательно, первая точка пересечения — $(-6, -1)$.

Для $x_2 = 1$:
$ y_2 = 1 + 5 = 6 $
Следовательно, вторая точка пересечения — $(1, 6)$.

Ответ: $(-6, -1)$, $(1, 6)$.