Номер 65, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 65, страница 14.

Условие.

65. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ 7 - x, & \text{если } x > -1; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2x + 2, & \text{если } x \le 1, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 1 < x < 2, \\ 2, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Построим график функции $y = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ 7-x, & \text{если } x > -1. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей, каждая на своем промежутке.

Шаг 1. Построим первую часть графика: $y = -\frac{8}{x}$ при $x \le -1$.

Это часть гиперболы, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку нас интересует промежуток $x \le -1$, мы будем строить часть ветви, расположенной во второй четверти. Вычислим координаты нескольких точек для этой части графика:

• При $x = -1$, $y = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка $(-1, 8)$ является конечной точкой этой части графика и будет закрашена, так как неравенство нестрогое ($x \le -1$).
• При $x = -2$, $y = -\frac{8}{-2} = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• При $x = -4$, $y = -\frac{8}{-4} = 2$. Точка $(-4, 2)$.
• При $x = -8$, $y = -\frac{8}{-8} = 1$. Точка $(-8, 1)$.

Соединим эти точки плавной кривой. При $x \to -\infty$, значение $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

Шаг 2. Построим вторую часть графика: $y = 7-x$ при $x > -1$.

Это часть прямой линии. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты граничной точки и еще одной точки на луче.

• Найдем значение в граничной точке $x = -1$: $y = 7 - (-1) = 8$. Точка $(-1, 8)$ является началом луча. Она будет выколотой (незакрашенной), так как неравенство строгое ($x > -1$).
• Возьмем еще одну точку, например, при $x = 0$, $y = 7-0 = 7$. Точка $(0, 7)$.
• Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow 7-x=0 \Rightarrow x=7$. Точка $(7, 0)$.

Проведем луч через точки $(0, 7)$ и $(7, 0)$, начинающийся в точке $(-1, 8)$.

Шаг 3. Объединим графики.

Первая часть графика (гипербола) заканчивается в точке $(-1, 8)$, которая закрашена. Вторая часть графика (прямая) начинается в той же точке $(-1, 8)$, но она выколота. При совмещении этих двух частей выколотая точка "закрашивается" конечной точкой первой части. Таким образом, в точке $x = -1$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке $(-1, 8)$. При $x \le -1$ это ветвь гиперболы $y = -8/x$, проходящая через точки $(-2, 4)$ и $(-4, 2)$. При $x > -1$ это луч, являющийся частью прямой $y = 7-x$, который проходит через точки $(0, 7)$ и $(7, 0)$.

2) Построим график функции $y = \begin{cases} 2x+2, & \text{если } x \le 1, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 1 < x < 2, \\ 2, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

График этой функции состоит из трех частей.

Шаг 1. Построим первую часть графика: $y = 2x+2$ при $x \le 1$.

Это луч прямой линии. Найдем координаты точек для его построения.

• Граничная точка при $x=1$: $y = 2(1) + 2 = 4$. Точка $(1, 4)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое.
• Возьмем еще одну точку, например, при $x=0$: $y = 2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Проведем луч через точку $(0, 2)$, который заканчивается в точке $(1, 4)$.

Шаг 2. Построим вторую часть графика: $y = \frac{4}{x}$ при $1 < x < 2$.

Это участок гиперболы в первой координатной четверти. Найдем значения на границах интервала.

• При $x \to 1$ (справа), $y \to \frac{4}{1} = 4$. Точка $(1, 4)$ выколотая, так как неравенство строгое ($x>1$).
• При $x \to 2$ (слева), $y \to \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$ также выколотая, так как неравенство строгое ($x<2$).

Соединим точки $(1, 4)$ и $(2, 2)$ плавной кривой, которая является частью гиперболы.

Шаг 3. Построим третью часть графика: $y = 2$ при $x \ge 2$.

Это горизонтальный луч.

• Начальная точка при $x=2$: $y=2$. Точка $(2, 2)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое.

Проведем горизонтальный луч из точки $(2, 2)$ вправо параллельно оси Ox.

Шаг 4. Объединим графики.

В точке $x=1$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(1, 4)$, а вторая начинается выколотой точкой $(1, 4)$. Таким образом, график непрерывен в этой точке.

В точке $x=2$ вторая часть заканчивается выколотой точкой $(2, 2)$, а третья начинается закрашенной точкой $(2, 2)$. Таким образом, график непрерывен и в этой точке.

Итоговый график является сплошной непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей. При $x \le 1$ это луч прямой $y = 2x+2$, проходящий через $(0, 2)$ и заканчивающийся в точке $(1, 4)$. На интервале $1 < x < 2$ это участок гиперболы $y = 4/x$, соединяющий точки $(1, 4)$ и $(2, 2)$. При $x \ge 2$ это горизонтальный луч $y=2$, начинающийся в точке $(2, 2)$.