Номер 68, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 68, страница 14.

Условие.

68. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 5x - 6$;

2) $x^2 - x + 2 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 = 5x - 6$

Для решения этого уравнения графическим методом, представим его в виде равенства двух функций. Построим графики этих функций в одной системе координат. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

Рассмотрим две функции:

$y = x^2$ (левая часть уравнения)
$y = 5x - 6$ (правая часть уравнения)

1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Для построения найдем несколько точек:

при $x = 0, y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
при $x = 1, y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
при $x = 2, y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$
при $x = 3, y = 3^2 = 9$; точка $(3, 9)$
при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$

2. Построим график функции $y = 5x - 6$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек:

при $x = 1$, $y = 5 \cdot 1 - 6 = -1$; точка $(1, -1)$
при $x = 2$, $y = 5 \cdot 2 - 6 = 4$; точка $(2, 4)$

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках. По построенным точкам видно, что одна из точек пересечения — $(2, 4)$. Проверим, является ли точка $(3, 9)$, принадлежащая параболе, также точкой на прямой: при $x=3$, $y = 5 \cdot 3 - 6 = 15 - 6 = 9$. Да, точка $(3, 9)$ также принадлежит прямой.

Таким образом, графики пересекаются в точках $(2, 4)$ и $(3, 9)$. Абсциссы этих точек, $x=2$ и $x=3$, являются корнями уравнения.

Ответ: $2; 3$.

2) $x^2 - x + 2 = 0$

Для графического решения преобразуем уравнение, перенеся часть слагаемых в правую часть, чтобы получить две более простые функции: $x^2 = x - 2$.

Теперь рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = x - 2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Построим график функции $y = x - 2$. Это прямая линия. Для построения найдем две точки:

при $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$; точка $(0, -2)$
при $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$; точка $(2, 0)$

3. Построим оба графика в одной системе координат. Парабола $y = x^2$ целиком находится в верхней полуплоскости (за исключением точки $(0,0)$). Прямая $y = x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. При построении видно, что прямая расположена "ниже" параболы и не имеет с ней общих точек.

Так как графики функций $y = x^2$ и $y = x - 2$ не пересекаются, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Альтернативный способ:
Можно решить уравнение, построив график функции $y = x^2 - x + 2$. Корни уравнения — это абсциссы точек, в которых график этой функции пересекает ось $Ox$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.
Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
$y_в = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}; \frac{7}{4})$. Поскольку ордината вершины положительна ($y_в > 0$) и ветви параболы направлены вверх, весь график расположен выше оси $Ox$ и не пересекает ее. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет действительных корней.