Номер 74, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 74, страница 15.

Условие.

74. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 5;$

2) $\sqrt{x} = \frac{2}{7};$

3) $\sqrt{x} - 8 = 0;$

4) $2\sqrt{x} - 9 = 0;$

5) $\frac{1}{3}\sqrt{x} + 4 = 0;$

6) $\sqrt{6x - 3} = 0;$

7) $\sqrt{6x - 3} = 0;$

8) $\sqrt{6x - 3} = 2;$

9) $\frac{21}{\sqrt{x}} = 3;$

10) $\frac{10}{\sqrt{x - 4}} = 5;$

11) $\sqrt{3 + \sqrt{5 + \sqrt{x}}} = 3;$

12) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 5^2$

$x = 25$

Значение $x=25$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{25} = 5$.

Ответ: $x=25$.

2) Дано уравнение $\sqrt{x} = \frac{2}{7}$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{2}{7})^2$

$x = \frac{4}{49}$

Значение $x=\frac{4}{49}$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $x=\frac{4}{49}$.

3) Дано уравнение $\sqrt{x} - 8 = 0$.

Перенесем 8 в правую часть уравнения:

$\sqrt{x} = 8$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 8^2$

$x = 64$

Значение $x=64$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{64} - 8 = 8 - 8 = 0$.

Ответ: $x=64$.

4) Дано уравнение $2\sqrt{x} - 9 = 0$.

Выразим $\sqrt{x}$:

$2\sqrt{x} = 9$

$\sqrt{x} = \frac{9}{2}$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{9}{2})^2$

$x = \frac{81}{4}$

Значение $x=\frac{81}{4}$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $2\sqrt{\frac{81}{4}} - 9 = 2 \cdot \frac{9}{2} - 9 = 9 - 9 = 0$.

Ответ: $x=\frac{81}{4}$.

5) Дано уравнение $\frac{1}{3}\sqrt{x} + 4 = 0$.

Выразим $\sqrt{x}$:

$\frac{1}{3}\sqrt{x} = -4$

$\sqrt{x} = -12$

Арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) по определению не может быть отрицательным числом. Так как в правой части стоит отрицательное число (-12), уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет корней.

6) Дано уравнение $\sqrt{6x - 3} = 0$.

ОДЗ: $6x - 3 \ge 0 \implies 6x \ge 3 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:

$6x - 3 = 0^2$

$6x = 3$

$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Значение $x=\frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

7) Дано уравнение $\sqrt{6x - 3} = 0$.

Это уравнение идентично предыдущему.

ОДЗ: $6x - 3 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:

$6x - 3 = 0$

$6x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Значение $x=\frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

8) Дано уравнение $\sqrt{6x - 3} = 2$.

ОДЗ: $6x - 3 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{6x - 3})^2 = 2^2$

$6x - 3 = 4$

$6x = 7$

$x = \frac{7}{6}$

Значение $x=\frac{7}{6}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{7}{6} > \frac{1}{2}$.

Ответ: $x=\frac{7}{6}$.

9) Дано уравнение $\frac{21}{\sqrt{x}} = 3$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе: $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{21}{3}$

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 7^2 = 49$

Значение $x=49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 > 0$).

Ответ: $x=49$.

10) Дано уравнение $\frac{10}{\sqrt{x - 4}} = 5$.

ОДЗ: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.

Выразим $\sqrt{x - 4}$:

$\sqrt{x - 4} = \frac{10}{5}$

$\sqrt{x - 4} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 4 = 2^2$

$x - 4 = 4$

$x = 8$

Значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 4$).

Ответ: $x=8$.

11) Дано уравнение $\sqrt{3 + \sqrt{5 + \sqrt{x}}} = 3$.

ОДЗ: $x \ge 0$. При этом условии все подкоренные выражения будут неотрицательны.

Возведем обе части в квадрат:

$3 + \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 3^2$

$3 + \sqrt{5 + \sqrt{x}} = 9$

$\sqrt{5 + \sqrt{x}} = 6$

Снова возведем обе части в квадрат:

$5 + \sqrt{x} = 6^2$

$5 + \sqrt{x} = 36$

$\sqrt{x} = 31$

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$x = 31^2 = 961$

Значение $x=961$ удовлетворяет ОДЗ ($961 \ge 0$).

Ответ: $x=961$.

12) Дано уравнение $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4} = 0$.

ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \implies (x - 2)(x + 2) \ge 0$. Решением неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:

Корень $x = 1$ не входит в ОДЗ, так как $1$ не принадлежит $(-\infty; -2] \cup [2; \infty)$. Это посторонний корень.

Корень $x = 2$ входит в ОДЗ. Проверка: $(2-1)\sqrt{2^2-4} = 1 \cdot \sqrt{0} = 0$.

Корень $x = -2$ входит в ОДЗ. Проверка: $(-2-1)\sqrt{(-2)^2-4} = -3 \cdot \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -2, x = 2$.