Номер 76, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 76, страница 16.

Условие.

76. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 = a + 3$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано уравнение $x^2 = a + 3$. Это неполное квадратное уравнение. Количество его действительных корней зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака выражения $a + 3$. Рассмотрим три случая.

1) имеет два корня;
Уравнение вида $x^2 = k$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда правая часть уравнения строго больше нуля ($k > 0$). В данном случае $k = a + 3$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство: $a + 3 > 0$ Решим это неравенство относительно $a$: $a > -3$ Это означает, что при любом значении $a$ из интервала $(-3; +\infty)$ уравнение будет иметь два корня.
Ответ: $a > -3$.

2) имеет один корень;
Уравнение вида $x^2 = k$ имеет ровно один корень, если его правая часть равна нулю ($k = 0$). В этом случае корень равен нулю ($x = 0$). Применим это условие к нашему уравнению: $a + 3 = 0$ Решим это уравнение относительно $a$: $a = -3$ При $a = -3$ уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и его единственный корень $x=0$.
Ответ: $a = -3$.

3) не имеет корней?
Уравнение вида $x^2 = k$ не имеет действительных корней, если его правая часть отрицательна ($k < 0$), так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Следовательно, уравнение не имеет корней при выполнении условия: $a + 3 < 0$ Решим это неравенство относительно $a$: $a < -3$ Это означает, что при любом значении $a$ из интервала $(-\infty; -3)$ у уравнения не будет действительных корней.
Ответ: $a < -3$.