Номер 73, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 73, страница 15.

Условие.

73. При каких значениях $a$ имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{a-3}$;

2) $\sqrt{4-a}$;

3) $\sqrt{(a-3)^2}$;

4) $\sqrt{a^4+1}$;

5) $\sqrt{-a-3}$;

6) $\sqrt{-(a-3)^6}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выражение $\sqrt{a-3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение (радиканд) неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Составим и решим неравенство:
$a - 3 \ge 0$
Перенесем -3 в правую часть неравенства, изменив знак:
$a \ge 3$
Это означает, что $a$ может принимать любые значения из промежутка $[3; +\infty)$.
Ответ: $a \ge 3$.

2) Выражение $\sqrt{4-a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$4 - a \ge 0$
Перенесем $-a$ в правую часть:
$4 \ge a$, что то же самое, что и $a \le 4$.
Это означает, что $a$ может принимать любые значения из промежутка $(-\infty; 4]$.
Ответ: $a \le 4$.

3) Выражение $\sqrt{(a-3)^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Подкоренное выражение $(a-3)^2$ представляет собой квадрат разности. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
$(a-3)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
Следовательно, выражение имеет смысл при любых действительных значениях $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

4) Выражение $\sqrt{a^4+1}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Выражение $a^4$ — это $a$ в четной степени, поэтому оно всегда неотрицательно для любого действительного $a$: $a^4 \ge 0$.
Следовательно, сумма $a^4 + 1$ будет всегда больше или равна 1: $a^4 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку подкоренное выражение всегда положительно, исходное выражение имеет смысл при любых действительных значениях $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

5) Выражение $\sqrt{-a-3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$-a - 3 \ge 0$
$-a \ge 3$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$a \le -3$
Это означает, что $a$ может принимать любые значения из промежутка $(-\infty; -3]$.
Ответ: $a \le -3$.

6) Выражение $\sqrt{-(a-3)^6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Рассмотрим подкоренное выражение $-(a-3)^6$.
Выражение $(a-3)^6$ всегда неотрицательно, так как это степень с четным показателем: $(a-3)^6 \ge 0$ для любого $a$.
Тогда выражение $-(a-3)^6$, будучи противоположным неотрицательному числу, всегда неположительно: $-(a-3)^6 \le 0$.
Для того чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие $-(a-3)^6 \ge 0$.
Единственное число, которое одновременно и неположительно, и неотрицательно, — это ноль.
Значит, подкоренное выражение должно быть равно нулю:
$-(a-3)^6 = 0$
$(a-3)^6 = 0$
$a-3 = 0$
$a = 3$
Следовательно, выражение имеет смысл только при одном значении $a$.
Ответ: $a = 3$.