Номер 77, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 77, страница 16.

Условие.

77. При каких значениях $a$ уравнение $(a - 10)x^2 = 3$:

1) имеет корни;

2) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) имеет корни;

Рассмотрим данное уравнение $(a - 10)x^2 = 3$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо рассмотреть два основных случая, зависящих от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a - 10 = 0$, то есть при $a = 10$. Подставив это значение в исходное уравнение, получаем:

$(10 - 10)x^2 = 3$

$0 \cdot x^2 = 3$

$0 = 3$

Это равенство является неверным, следовательно, при $a = 10$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит, когда $a - 10 \neq 0$, то есть $a \neq 10$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 10)$, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{3}{a - 10}$

Уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда выражение для $x^2$ неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Это означает, что правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$\frac{3}{a - 10} \ge 0$

Поскольку числитель дроби, равный 3, является положительным числом, для выполнения этого неравенства знаменатель $(a - 10)$ также должен быть строго положительным (он не может быть равен нулю).

$a - 10 > 0$

Решая это неравенство, находим:

$a > 10$

Объединяя результаты анализа, мы видим, что уравнение имеет корни только в Случае 2, при условии $a > 10$.

Ответ: $a > 10$.

2) не имеет корней?

Основываясь на анализе, проведенном в предыдущем пункте, определим значения $a$, при которых уравнение не имеет корней.

1. Как мы выяснили, при $a = 10$ уравнение принимает вид $0 = 3$, что неверно, и, следовательно, корней нет.

2. Для случая $a \neq 10$, мы получили уравнение $x^2 = \frac{3}{a - 10}$. Уравнение не имеет действительных корней, если правая часть отрицательна, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

$\frac{3}{a - 10} < 0$

Поскольку числитель (3) положителен, дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен.

$a - 10 < 0$

$a < 10$

Итак, уравнение не имеет корней при $a < 10$, а также при $a = 10$. Объединив эти два условия, получаем, что уравнение не имеет корней при всех значениях $a$, удовлетворяющих неравенству $a \le 10$.

Ответ: $a \le 10$.