Номер 70, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 70, страница 15.

Условие.

70. Имеет ли смысл выражение:

1) $\sqrt{5}$; 2) $-\sqrt{5}$; 3) $\sqrt{-5}$; 4) $\sqrt{(-5)^2}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выражение "арифметический квадратный корень", обозначаемое как $\sqrt{a}$, имеет смысл в множестве действительных чисел только в том случае, когда подкоренное выражение $a$ является неотрицательным, то есть $a \ge 0$. В выражении $\sqrt{5}$ подкоренное выражение равно 5. Поскольку $5 > 0$, условие выполняется, и выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет.

2) Выражение $-\sqrt{5}$ представляет собой число, противоположное числу $\sqrt{5}$. Как было установлено в предыдущем пункте, выражение $\sqrt{5}$ имеет смысл и является действительным положительным числом. Для любого действительного числа существует противоположное ему число. Следовательно, выражение $-\sqrt{5}$ также имеет смысл.
Ответ: да, имеет.

3) В выражении $\sqrt{-5}$ подкоренное выражение равно -5. Поскольку $-5 < 0$, то есть является отрицательным числом, арифметический квадратный корень из него в множестве действительных чисел не определен. Не существует такого действительного числа $x$, квадрат которого был бы равен $-5$ ($x^2 = -5$).
Ответ: нет, не имеет.

4) В выражении $\sqrt{(-5)^2}$ сначала нужно вычислить значение подкоренного выражения. $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $\sqrt{25}$. Подкоренное выражение равно 25, что является положительным числом ($25 > 0$), поэтому выражение имеет смысл. Его значение равно 5. Также можно использовать тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, согласно которому $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.
Ответ: да, имеет.