Номер 64, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 64, страница 14.

Условие.

их пересечения.

64. Постройте график функции $y = \frac{7}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = \frac{7}{|x|}$ необходимо проанализировать ее свойства. Прежде всего, определим область определения функции. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, $|x| \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее, раскроем модуль в знаменателе, рассмотрев два случая. Это позволит нам построить график по частям.

1. При $x > 0$, по определению модуля, $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \frac{7}{x}$. Графиком этой функции является ветвь стандартной гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. Составим таблицу значений для нескольких точек этой ветви:

$x$	1	2	3.5	7
$y$	7	3.5	2	1

2. При $x < 0$, по определению модуля, $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \frac{7}{-x}$, то есть $y = -\frac{7}{x}$. Графиком этой функции является ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Асимптоты также оси координат.

Также можно было изначально заметить, что исходная функция $y = \frac{7}{|x|}$ является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{7}{|-x|} = \frac{7}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Следовательно, ветвь графика для $x < 0$ является зеркальным отражением ветви для $x > 0$ относительно оси OY. Для проверки построим таблицу значений для второй ветви:

$x$	-1	-2	-3.5	-7
$y$	7	3.5	2	1

Объединив обе части, получаем итоговый график. Он состоит из двух симметричных ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Обе ветви находятся выше оси абсцисс, неограниченно приближаясь к оси ординат при $x \to 0$ и к оси абсцисс при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции $y = \frac{7}{|x|}$ представляет собой объединение двух ветвей. Первая ветвь — это часть гиперболы $y=\frac{7}{x}$ в первой координатной четверти (для $x>0$). Вторая ветвь — это часть гиперболы $y=-\frac{7}{x}$ во второй координатной четверти (для $x<0$). График симметричен относительно оси OY, все его точки лежат выше оси OX ($y>0$). Асимптотами графика являются координатные оси: ось OY (прямая $x=0$) и ось OX (прямая $y=0$).