Номер 66, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 66, страница 14.

Условие.

66. Постройте график функции:

1) $y = \frac{9x - 27}{x^2 - 3x}$;

2) $y = \frac{40 - 10x^2}{x^3 - 4x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана функция $y = \frac{9x - 27}{x^2 - 3x}$.
Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x^2 - 3x \neq 0$
$x(x - 3) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $9x - 27 = 9(x - 3)$.
Знаменатель: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Подставим множители в исходную функцию:
$y = \frac{9(x - 3)}{x(x - 3)}$

Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = \frac{9}{x}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{9}{x}$ за исключением точки, в которой $x = 3$. Эта точка будет выколота на графике.
Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим $x=3$ в упрощенную функцию:
$y = \frac{9}{3} = 3$
Координаты выколотой точки: $(3, 3)$.

График функции $y = \frac{9}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ (вертикальная асимптота) и $y=0$ (горизонтальная асимптота).

Для построения графика нужно нарисовать гиперболу $y = \frac{9}{x}$ и отметить на ней выколотую точку $(3, 3)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y=\frac{9}{x}$ с выколотой точкой $(3, 3)$.

2)

Дана функция $y = \frac{40 - 10x^2}{x^3 - 4x}$.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^3 - 4x \neq 0$
$x(x^2 - 4) \neq 0$
$x(x - 2)(x + 2) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $40 - 10x^2 = 10(4 - x^2) = 10(2 - x)(2 + x) = -10(x - 2)(x + 2)$.
Знаменатель: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

Подставим множители в функцию:
$y = \frac{-10(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)}$

Так как $x \neq 2$ и $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$ и $(x + 2)$:
$y = -\frac{10}{x}$

График исходной функции — это график функции $y = -\frac{10}{x}$ с выколотыми точками, в которых $x = 2$ и $x = -2$.
Найдем координаты этих точек:
При $x = 2$: $y = -\frac{10}{2} = -5$. Координаты первой выколотой точки: $(2, -5)$.
При $x = -2$: $y = -\frac{10}{-2} = 5$. Координаты второй выколотой точки: $(-2, 5)$.

График функции $y = -\frac{10}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ и $y=0$.

Для построения графика нужно нарисовать гиперболу $y = -\frac{10}{x}$ и отметить на ней две выколотые точки: $(2, -5)$ и $(-2, 5)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y=-\frac{10}{x}$ с выколотыми точками $(2, -5)$ и $(-2, 5)$.