Номер 69, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 69, страница 14.

Условие.

69. Дана функция $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1, \\ 2 - x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

1) Найдите $f (-2), f (1), f (3).$

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдите $f(-2), f(1), f(3)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы найти значение функции в конкретной точке, необходимо сначала определить, какому из двух интервалов принадлежит аргумент $x$, и затем использовать соответствующую формулу.

• Для нахождения $f(-2)$, мы проверяем условие для аргумента $x = -2$. Так как $-2 \le 1$, мы используем первую формулу: $y = x^2$.
  $f(-2) = (-2)^2 = 4$.
• Для нахождения $f(1)$, мы проверяем условие для аргумента $x = 1$. Так как $1 \le 1$, мы снова используем первую формулу: $y = x^2$.
  $f(1) = 1^2 = 1$.
• Для нахождения $f(3)$, мы проверяем условие для аргумента $x = 3$. Так как $3 > 1$, мы используем вторую формулу: $y = 2 - x$.
  $f(3) = 2 - 3 = -1$.

Ответ: $f(-2) = 4, f(1) = 1, f(3) = -1$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочной функции состоит из двух частей, каждая из которых строится на своем промежутке.

1. На промежутке $x \le 1$ строим график функции $y = x^2$.
   Это часть стандартной параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения найдем координаты нескольких ключевых точек:
   • при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
   • при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
   • при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
   • при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
   Точка $(1, 1)$ является граничной для этого участка и принадлежит графику, так как условие $x \le 1$ нестрогое.
2. На промежутке $x > 1$ строим график функции $y = 2 - x$.
   Это луч, являющийся частью прямой. Для его построения найдем две точки:
   • при $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
   • при $x = 3$, $y = 2 - 3 = -1$. Точка $(3, -1)$.
   Граничная точка луча соответствует $x=1$. Найдем ее ординату: $y = 2 - 1 = 1$. Таким образом, луч начинается в точке $(1, 1)$. Так как условие $x > 1$ строгое, эта точка не принадлежит данному участку графика и на нем изображается "выколотой" (пустым кружком).

Совмещаем построенные части на одной координатной плоскости. Точка $(1, 1)$ принадлежит первому участку (параболе) и не принадлежит второму (лучу). Таким образом, на общем графике эта точка является закрашенной, и функция в ней непрерывна.

Ответ: График построен.