Номер 58, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 58, страница 13.

Условие.

58. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{x^{-3} - 3}{x^{-5}} - \frac{x^{-6} - 9}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-3} - 3};$

2) $\left(\frac{a^{-5}}{a^{-5} - 6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10} - 12a^{-5} + 36}\right) \cdot \frac{36 - a^{-10}}{a^{-5} - 8} + \frac{12a^{-5}}{a^{-5} - 6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим данное выражение по действиям. Сначала выполним умножение дробей, предварительно разложив числитель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{x^{-6} - 9}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-3} - 3} = \frac{(x^{-3})^2 - 3^2}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-3} - 3} = \frac{(x^{-3} - 3)(x^{-3} + 3)}{x^{-5}(x^{-3} - 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^{-3} - 3)$:

$\frac{\cancel{(x^{-3} - 3)}(x^{-3} + 3)}{x^{-5}\cancel{(x^{-3} - 3)}} = \frac{x^{-3} + 3}{x^{-5}}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание. Так как знаменатели дробей одинаковы, вычтем их числители:

$\frac{x^{-3} - 3}{x^{-5}} - \frac{x^{-3} + 3}{x^{-5}} = \frac{(x^{-3} - 3) - (x^{-3} + 3)}{x^{-5}} = \frac{x^{-3} - 3 - x^{-3} - 3}{x^{-5}} = \frac{-6}{x^{-5}}$

Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени в знаменателе, воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{-6}{x^{-5}} = -6 \cdot x^5$

Ответ: $-6x^5$

2) Для упрощения выражения введем замену: пусть $y = a^{-5}$. Тогда $a^{-10} = (a^{-5})^2 = y^2$. Исходное выражение примет вид:

$\left( \frac{y}{y - 6} - \frac{2y}{y^2 - 12y + 36} \right) \cdot \frac{36 - y^2}{y - 8} + \frac{12y}{y - 6}$

Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $y^2 - 12y + 36 = (y - 6)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{y}{y - 6} - \frac{2y}{(y - 6)^2} = \frac{y(y - 6)}{(y - 6)^2} - \frac{2y}{(y - 6)^2} = \frac{y^2 - 6y - 2y}{(y - 6)^2} = \frac{y^2 - 8y}{(y - 6)^2} = \frac{y(y - 8)}{(y - 6)^2}$

Теперь выполним умножение. Разложим числитель $36 - y^2$ на множители: $36 - y^2 = (6 - y)(6 + y) = -(y - 6)(y + 6)$.

$\frac{y(y - 8)}{(y - 6)^2} \cdot \frac{-(y - 6)(y + 6)}{y - 8}$

Сократим общие множители $(y-8)$ и $(y-6)$:

$\frac{y(\cancel{y - 8})}{(\cancel{y - 6})^2} \cdot \frac{-(\cancel{y - 6})(y + 6)}{\cancel{y - 8}} = \frac{-y(y+6)}{y-6}$

Теперь выполним сложение с последним членом исходного выражения:

$\frac{-y(y+6)}{y-6} + \frac{12y}{y-6} = \frac{-y^2 - 6y + 12y}{y-6} = \frac{-y^2 + 6y}{y-6}$

Вынесем в числителе за скобки $-y$ и сократим дробь:

$\frac{-y(y-6)}{y-6} = -y$

Выполним обратную замену $y = a^{-5}$:

$-y = -a^{-5}$

Запишем результат без отрицательной степени:

$-a^{-5} = -\frac{1}{a^5}$

Ответ: $-\frac{1}{a^5}$