Номер 51, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 51, страница 11.

Условие.

51. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^{-8} \cdot a^{12};$

2) $a^7 \cdot a^{-11};$

3) $a^{-6} \cdot a^{10} \cdot a^{-20};$

4) $a^{-3} : a^5;$

5) $a^{-4} : a^{-12};$

6) $a^{17} \cdot a^{-23} : a^{-15};$

7) $(a^{-4})^8;$

8) $(a^3)^{-7} \cdot (a^{-4})^{-5} : (a^{-5})^8;$

9) $(a^5b^{-3}c^4)^{-10};$

10) $(a^2b^{-3})^{-3} \cdot (a^{-4}b^{-9})^6;$

11) $\left(\frac{a^{12}b^{-4}}{c^5d^{-13}}\right)^{-2};$

12) $\left(\frac{a^7}{b^{-3}}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{a^{-3}}{b^9}\right)^{-12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$a^{-8} \cdot a^{12} = a^{-8+12} = a^4$.
Ответ: $a^4$

2) Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели степеней складываются.
$a^7 \cdot a^{-11} = a^{7+(-11)} = a^{7-11} = a^{-4}$.
Ответ: $a^{-4}$

3) Последовательно применяем правило умножения степеней, складывая все показатели.
$a^{-6} \cdot a^{10} \cdot a^{-20} = a^{-6+10+(-20)} = a^{4-20} = a^{-16}$.
Ответ: $a^{-16}$

4) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$a^{-3} : a^5 = a^{-3-5} = a^{-8}$.
Ответ: $a^{-8}$

5) Используем правило деления степеней. Обратите внимание на вычитание отрицательного числа.
$a^{-4} : a^{-12} = a^{-4-(-12)} = a^{-4+12} = a^8$.
Ответ: $a^8$

6) Выполняем действия по порядку: при умножении показатели складываются, при делении – вычитаются.
$a^{17} \cdot a^{-23} : a^{-15} = a^{17+(-23)-(-15)} = a^{17-23+15} = a^{-6+15} = a^9$.
Ответ: $a^9$

7) При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{mn}$).
$(a^{-4})^8 = a^{-4 \cdot 8} = a^{-32}$.
Ответ: $a^{-32}$

8) Сначала раскрываем скобки, используя правило возведения степени в степень. Затем выполняем умножение и деление, складывая и вычитая показатели.
$(a^3)^{-7} \cdot (a^{-4})^{-5} : (a^{-5})^8 = a^{3 \cdot (-7)} \cdot a^{-4 \cdot (-5)} : a^{-5 \cdot 8} = a^{-21} \cdot a^{20} : a^{-40} = a^{-21+20-(-40)} = a^{-1+40} = a^{39}$.
Ответ: $a^{39}$

9) При возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель ($(abc)^n = a^n b^n c^n$).
$(a^5b^{-3}c^4)^{-10} = (a^5)^{-10} \cdot (b^{-3})^{-10} \cdot (c^4)^{-10} = a^{5 \cdot (-10)} b^{-3 \cdot (-10)} c^{4 \cdot (-10)} = a^{-50} b^{30} c^{-40}$.
Ответ: $a^{-50}b^{30}c^{-40}$

10) Сначала раскрываем скобки для каждого сомножителя, а затем перемножаем степени с одинаковыми основаниями.
$(a^2b^{-3})^{-3} \cdot (a^{-4}b^{-9})^6 = (a^{2 \cdot (-3)}b^{-3 \cdot (-3)}) \cdot (a^{-4 \cdot 6}b^{-9 \cdot 6}) = (a^{-6}b^9) \cdot (a^{-24}b^{-54})$.
Группируем по основаниям и складываем показатели: $(a^{-6}a^{-24}) \cdot (b^9b^{-54}) = a^{-6-24} b^{9-54} = a^{-30}b^{-45}$.
Ответ: $a^{-30}b^{-45}$

11) При возведении дроби в степень в эту степень возводится и числитель, и знаменатель. Затем для каждого множителя применяется правило возведения степени в степень.
$(\frac{a^{12}b^{-4}}{c^5d^{-13}})^{-2} = \frac{(a^{12}b^{-4})^{-2}}{(c^5d^{-13})^{-2}} = \frac{a^{12 \cdot (-2)}b^{-4 \cdot (-2)}}{c^{5 \cdot (-2)}d^{-13 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-24}b^8}{c^{-10}d^{26}}$.
Чтобы записать в виде произведения, перенесем знаменатель в числитель, изменив знаки его показателей: $a^{-24}b^8c^{10}d^{-26}$.
Ответ: $a^{-24}b^8c^{10}d^{-26}$

12) Раскрываем скобки в каждом множителе, возводя в степень числитель и знаменатель. Затем перемножаем получившиеся дроби.
$(\frac{a^7}{b^{-3}})^{-4} \cdot (\frac{a^{-3}}{b^9})^{-12} = \frac{(a^7)^{-4}}{(b^{-3})^{-4}} \cdot \frac{(a^{-3})^{-12}}{(b^9)^{-12}} = \frac{a^{-28}}{b^{12}} \cdot \frac{a^{36}}{b^{-108}}$.
Перемножаем числители с числителями, а знаменатели со знаменателями, складывая показатели степеней: $\frac{a^{-28}a^{36}}{b^{12}b^{-108}} = \frac{a^{-28+36}}{b^{12-108}} = \frac{a^8}{b^{-96}}$.
Переносим степень из знаменателя в числитель, меняя знак показателя: $a^8b^{96}$.
Ответ: $a^8b^{96}$