Номер 53, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 53, страница 12.

Условие.

53. Найдите значение выражения:

1) $27^{-3} : 81^{-2}$;

2) $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^4}{216^{-4} \cdot (-6)^9}$;

3) $\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8}$;

4) $\frac{(0,2)^{-6} \cdot 25^{-7}}{125^{-3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти значение выражения $27^{-3} : 81^{-2}$, представим основания степеней 27 и 81 в виде степеней числа 3, так как $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(3^3)^{-3} : (3^4)^{-2}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{3 \cdot (-3)} : 3^{4 \cdot (-2)} = 3^{-9} : 3^{-8}$

Далее, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, имеем:

$3^{-9 - (-8)} = 3^{-9 + 8} = 3^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Найдем значение выражения $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^4}{216^{-4} \cdot (-6)^9}$.

Представим все основания степеней через число 6, учитывая знаки:
$-36 = -1 \cdot 36 = -1 \cdot 6^2$
$216 = 6^3$
$-6 = -1 \cdot 6$

Подставим эти значения в выражение:
$\frac{((-1) \cdot 6^2)^{-3} \cdot 6^4}{(6^3)^{-4} \cdot ((-1) \cdot 6)^9}$

Раскроем скобки, используя свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{(-1)^{-3} \cdot (6^2)^{-3} \cdot 6^4}{6^{3 \cdot (-4)} \cdot (-1)^9 \cdot 6^9} = \frac{(-1)^{-3} \cdot 6^{-6} \cdot 6^4}{6^{-12} \cdot (-1)^9 \cdot 6^9}$

Упростим степени с основанием -1. Так как показатели -3 и 9 нечетные, то $(-1)^{-3} = -1$ и $(-1)^9 = -1$.
$\frac{-1 \cdot 6^{-6} \cdot 6^4}{-1 \cdot 6^{-12} \cdot 6^9}$

Сократим множитель $-1$ и применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{6^{-6+4}}{6^{-12+9}} = \frac{6^{-2}}{6^{-3}} = 6^{-2 - (-3)} = 6^{-2+3} = 6^1 = 6$

Ответ: $6$.

3) Найдем значение выражения $\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8}$.

Разложим основания 21 и 63 на простые множители:
$21 = 3 \cdot 7$
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

Подставим эти разложения в выражение:
$\frac{(3 \cdot 7)^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8}$

Используя свойства степеней, раскроем скобки:
$\frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{3^{2 \cdot (-2)} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{3^{5-7} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^{-2+8}} = \frac{3^{-2} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^6}$

Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания:
$3^{-2 - (-4)} \cdot 7^{5-6} = 3^{-2+4} \cdot 7^{-1} = 3^2 \cdot 7^{-1}$

Вычислим значение:
$9 \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{7}$

Ответ: $\frac{9}{7}$.

4) Найдем значение выражения $\frac{(0,2)^{-6} \cdot 25^{-7}}{125^{-3}}$.

Приведем все основания к одному числу — 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(5^{-1})^{-6} \cdot (5^2)^{-7}}{(5^3)^{-3}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{5^{(-1) \cdot (-6)} \cdot 5^{2 \cdot (-7)}}{5^{3 \cdot (-3)}} = \frac{5^6 \cdot 5^{-14}}{5^{-9}}$

В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{5^{6-14}}{5^{-9}} = \frac{5^{-8}}{5^{-9}}$

Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^{-8 - (-9)} = 5^{-8+9} = 5^1 = 5$

Ответ: $5$.