Номер 54, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 54, страница 12.

Условие.

54. Упростите выражение:

1) $ \frac{1}{3}p^{-2}q^{-5} \cdot \frac{9}{5}p^6q^3 $;

2) $ -0,4b^{-3}c^7 \cdot 1,5b^2c^{-6} $;

3) $ 0,45m^{-3}n^2p^{-4} \cdot 1\frac{1}{9}m^8n^{-11}p^6 $;

4) $ 5a^{-6} \cdot (-3a^{-2}b^3)^{-2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{3}p^{-2}q^{-5} \cdot \frac{9}{5}p^6q^3 $, мы сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты, а также степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Сначала перемножим коэффициенты: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.
Затем перемножим степени с основанием $p$: $ p^{-2} \cdot p^6 = p^{-2+6} = p^4 $.
И степени с основанием $q$: $ q^{-5} \cdot q^3 = q^{-5+3} = q^{-2} $.
Объединив все части, получаем: $ \frac{3}{5}p^4q^{-2} $.
Ответ: $ \frac{3}{5}p^4q^{-2} $.

2) Для упрощения выражения $ -0,4b^{-3}c^7 \cdot 1,5b^2c^{-6} $ сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Перемножим числовые коэффициенты: $ -0,4 \cdot 1,5 = -0,6 $.
Перемножим степени с основанием $b$: $ b^{-3} \cdot b^2 = b^{-3+2} = b^{-1} $.
Перемножим степени с основанием $c$: $ c^7 \cdot c^{-6} = c^{7+(-6)} = c^1 = c $.
Соединим полученные результаты: $ -0,6b^{-1}c $.
Ответ: $ -0,6b^{-1}c $.

3) Упростим выражение $ 0,45m^{-3}n^2p^{-4} \cdot 1\frac{1}{9}m^8n^{-11}p^6 $. Для удобства вычислений представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей: $ 0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} $ и $ 1\frac{1}{9} = \frac{10}{9} $.
Перемножим коэффициенты: $ \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{9} = \frac{9 \cdot 10}{20 \cdot 9} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5 $.
Перемножим степени с основанием $m$: $ m^{-3} \cdot m^8 = m^{-3+8} = m^5 $.
Перемножим степени с основанием $n$: $ n^2 \cdot n^{-11} = n^{2+(-11)} = n^{-9} $.
Перемножим степени с основанием $p$: $ p^{-4} \cdot p^6 = p^{-4+6} = p^2 $.
Объединим результаты: $ 0,5m^5n^{-9}p^2 $.
Ответ: $ 0,5m^5n^{-9}p^2 $.

4) Чтобы упростить выражение $ 5a^{-6} \cdot (-3a^{-2}b^3)^{-2} $, сначала возведем второй множитель в степень, используя свойства $ (xy)^n = x^n y^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $.
$ (-3a^{-2}b^3)^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot (b^3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} \cdot a^{-2 \cdot (-2)} \cdot b^{3 \cdot (-2)} = \frac{1}{9} a^4 b^{-6} $.
Теперь исходное выражение имеет вид: $ 5a^{-6} \cdot \frac{1}{9}a^4b^{-6} $.
Перемножим коэффициенты: $ 5 \cdot \frac{1}{9} = \frac{5}{9} $.
Перемножим степени с основанием $a$: $ a^{-6} \cdot a^4 = a^{-6+4} = a^{-2} $.
Степень с основанием $b$ остается $b^{-6}$.
Соберем все вместе: $ \frac{5}{9}a^{-2}b^{-6} $.
Ответ: $ \frac{5}{9}a^{-2}b^{-6} $.