Номер 55, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 55, страница 12.

Условие.

55. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{17x^{-8}}{14y^{-12}} \cdot \frac{28y}{51x^{-21}};

2) $-1,6m^{-4}n^3 \cdot (-2m^{-3}p^{-6})^{-3};

3) $2\frac{1}{4}a^{-5}b \cdot \left(1\frac{1}{2}a^{-1}b^{-3}\right)^{-3};

4) $(-10a^{-2}bc^{-11})^{-2} \cdot (0,1bc^{-2})^{-3};

5) $\left(-\frac{1}{5}a^{-3}b^{-7}\right)^{-3} \cdot (-5a^2b^6)^{-2};

6) $\left(\frac{8p^{-4}}{q^{-1}}\right)^{-2} \cdot (16p^{-6}q^3)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{17x^{-8}}{14y^{-12}} \cdot \frac{28y}{51x^{-21}} $, сгруппируем коэффициенты и переменные, а затем выполним действия со степенями:
$ \frac{17x^{-8}}{14y^{-12}} \cdot \frac{28y}{51x^{-21}} = (\frac{17}{14} \cdot \frac{28}{51}) \cdot (\frac{x^{-8}}{x^{-21}}) \cdot (\frac{y}{y^{-12}}) $
Сократим дроби с коэффициентами: $ \frac{17 \cdot 28}{14 \cdot 51} = \frac{17 \cdot (2 \cdot 14)}{14 \cdot (3 \cdot 17)} = \frac{2}{3} $.
Упростим степени с основанием $x$: $ \frac{x^{-8}}{x^{-21}} = x^{-8 - (-21)} = x^{-8 + 21} = x^{13} $.
Упростим степени с основанием $y$: $ \frac{y}{y^{-12}} = y^{1 - (-12)} = y^{1 + 12} = y^{13} $.
Перемножим полученные результаты: $ \frac{2}{3} \cdot x^{13} \cdot y^{13} = \frac{2x^{13}y^{13}}{3} $.
Ответ: $ \frac{2x^{13}y^{13}}{3} $.

2) Рассмотрим выражение $ -1.6m^{-4}n^3 \cdot (-2m^{-3}p^{-6})^{-3} $.
Сначала возведем второй множитель в степень -3:
$ (-2m^{-3}p^{-6})^{-3} = (-2)^{-3} \cdot (m^{-3})^{-3} \cdot (p^{-6})^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} \cdot m^{(-3) \cdot (-3)} \cdot p^{(-6) \cdot (-3)} = -\frac{1}{8}m^9p^{18} $.
Теперь умножим это на первый множитель, предварительно представив $ -1.6 $ как $ -\frac{8}{5} $:
$ (-\frac{8}{5}m^{-4}n^3) \cdot (-\frac{1}{8}m^9p^{18}) = (-\frac{8}{5} \cdot -\frac{1}{8}) \cdot (m^{-4}m^9) \cdot n^3 \cdot p^{18} $.
Выполним умножение: $ \frac{1}{5} \cdot m^{-4+9} \cdot n^3 \cdot p^{18} = \frac{1}{5}m^5n^3p^{18} $.
Ответ: $ \frac{1}{5}m^5n^3p^{18} $.

3) Рассмотрим выражение $ 2\frac{1}{4}a^{-5}b \cdot (\frac{1}{2}a^{-1}b^{-3})^{-3} $.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} $.
Возведем второй множитель в степень -3:
$ (\frac{1}{2}a^{-1}b^{-3})^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} \cdot (a^{-1})^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} = 2^3 \cdot a^{(-1) \cdot (-3)} \cdot b^{(-3) \cdot (-3)} = 8a^3b^9 $.
Перемножим полученные выражения:
$ (\frac{9}{4}a^{-5}b) \cdot (8a^3b^9) = (\frac{9}{4} \cdot 8) \cdot (a^{-5}a^3) \cdot (b \cdot b^9) = 18 \cdot a^{-5+3} \cdot b^{1+9} = 18a^{-2}b^{10} $.
Избавимся от отрицательного показателя степени, используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ 18a^{-2}b^{10} = \frac{18b^{10}}{a^2} $.
Ответ: $ \frac{18b^{10}}{a^2} $.

4) Рассмотрим выражение $ (-10a^{-2}bc^{-11})^{-2} \cdot (0.1bc^{-2})^{-3} $.
Упростим первый множитель:
$ (-10a^{-2}bc^{-11})^{-2} = (-10)^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot b^{-2} \cdot (c^{-11})^{-2} = \frac{1}{100}a^4b^{-2}c^{22} $.
Упростим второй множитель, учитывая что $ 0.1 = 10^{-1} $:
$ (10^{-1}bc^{-2})^{-3} = (10^{-1})^{-3} \cdot b^{-3} \cdot (c^{-2})^{-3} = 10^3b^{-3}c^6 = 1000b^{-3}c^6 $.
Перемножим упрощенные множители:
$ (\frac{1}{100}a^4b^{-2}c^{22}) \cdot (1000b^{-3}c^6) = (\frac{1}{100} \cdot 1000) \cdot a^4 \cdot (b^{-2}b^{-3}) \cdot (c^{22}c^6) $.
Выполним умножение: $ 10 \cdot a^4 \cdot b^{-2-3} \cdot c^{22+6} = 10a^4b^{-5}c^{28} $.
Избавимся от отрицательного показателя степени: $ 10a^4b^{-5}c^{28} = \frac{10a^4c^{28}}{b^5} $.
Ответ: $ \frac{10a^4c^{28}}{b^5} $.

5) Рассмотрим выражение $ (-\frac{1}{5}a^{-3}b^{-7})^{-3} \cdot (-5a^2b^6)^{-2} $.
Упростим первый множитель:
$ (-\frac{1}{5}a^{-3}b^{-7})^{-3} = (-\frac{1}{5})^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3} \cdot (b^{-7})^{-3} = (-5)^3 \cdot a^9 \cdot b^{21} = -125a^9b^{21} $.
Упростим второй множитель:
$ (-5a^2b^6)^{-2} = (-5)^{-2} \cdot (a^2)^{-2} \cdot (b^6)^{-2} = \frac{1}{25}a^{-4}b^{-12} $.
Перемножим упрощенные множители:
$ (-125a^9b^{21}) \cdot (\frac{1}{25}a^{-4}b^{-12}) = (-125 \cdot \frac{1}{25}) \cdot (a^9a^{-4}) \cdot (b^{21}b^{-12}) $.
Выполним умножение: $ -5 \cdot a^{9-4} \cdot b^{21-12} = -5a^5b^9 $.
Ответ: $ -5a^5b^9 $.

6) Рассмотрим выражение $ (\frac{8p^{-4}}{q^{-1}})^{-2} \cdot (16p^{-6}q^3)^3 $.
Упростим первый множитель. Сначала преобразуем выражение в скобках: $ \frac{8p^{-4}}{q^{-1}} = 8p^{-4}q $.
Теперь возведем в степень -2: $ (8p^{-4}q)^{-2} = 8^{-2} \cdot (p^{-4})^{-2} \cdot q^{-2} = \frac{1}{64}p^8q^{-2} $.
Упростим второй множитель:
$ (16p^{-6}q^3)^3 = 16^3 \cdot (p^{-6})^3 \cdot (q^3)^3 = 4096p^{-18}q^9 $.
Перемножим упрощенные множители:
$ (\frac{1}{64}p^8q^{-2}) \cdot (4096p^{-18}q^9) = (\frac{4096}{64}) \cdot (p^8p^{-18}) \cdot (q^{-2}q^9) $.
Выполним умножение ($4096 \div 64 = 64$): $ 64 \cdot p^{8-18} \cdot q^{-2+9} = 64p^{-10}q^7 $.
Избавимся от отрицательного показателя степени: $ 64p^{-10}q^7 = \frac{64q^7}{p^{10}} $.
Ответ: $ \frac{64q^7}{p^{10}} $.