Номер 56, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 56, страница 13.

Условие.

56. Выполните вычисления и запишите результат в стандартном виде:

1) $(2,4 \cdot 10^5) \cdot (6 \cdot 10^{-3});$

2) $(4 \cdot 10^{-7}) \cdot (4,6 \cdot 10^{-8});$

3) $\frac{3,2 \cdot 10^4}{8 \cdot 10^7};$

4) $\frac{1,2 \cdot 10^6}{2,4 \cdot 10^3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для выполнения умножения чисел, записанных в стандартном виде, необходимо перемножить их числовые множители (мантиссы) и отдельно степени десяти. После этого результат приводится к стандартному виду, где мантисса $a$ удовлетворяет условию $1 \le a < 10$.

$(2,4 \cdot 10^5) \cdot (6 \cdot 10^{-3}) = (2,4 \cdot 6) \cdot (10^5 \cdot 10^{-3})$

Выполним умножение мантисс: $2,4 \cdot 6 = 14,4$.

Теперь умножим степени, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^5 \cdot 10^{-3} = 10^{5+(-3)} = 10^2$.

Результат умножения: $14,4 \cdot 10^2$.

Так как мантисса $14,4$ больше $10$, представим ее в стандартном виде: $14,4 = 1,44 \cdot 10^1$.

Подставим это значение обратно в выражение и снова применим правило умножения степеней:

$(1,44 \cdot 10^1) \cdot 10^2 = 1,44 \cdot 10^{1+2} = 1,44 \cdot 10^3$.

Ответ: $1,44 \cdot 10^3$.

2) Выполним вычисления по аналогии с предыдущим примером.

$(4 \cdot 10^{-7}) \cdot (4,6 \cdot 10^{-8}) = (4 \cdot 4,6) \cdot (10^{-7} \cdot 10^{-8})$

Произведение мантисс: $4 \cdot 4,6 = 18,4$.

Произведение степеней: $10^{-7} \cdot 10^{-8} = 10^{-7+(-8)} = 10^{-15}$.

Промежуточный результат: $18,4 \cdot 10^{-15}$.

Приведем мантиссу к стандартному виду: $18,4 = 1,84 \cdot 10^1$.

Подставим и найдем окончательный результат:

$(1,84 \cdot 10^1) \cdot 10^{-15} = 1,84 \cdot 10^{1+(-15)} = 1,84 \cdot 10^{-14}$.

Ответ: $1,84 \cdot 10^{-14}$.

3) При делении чисел в стандартном виде необходимо разделить их мантиссы и отдельно разделить степени десяти, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{3,2 \cdot 10^4}{8 \cdot 10^7} = \frac{3,2}{8} \cdot \frac{10^4}{10^7}$

Выполним деление мантисс: $\frac{3,2}{8} = 0,4$.

Теперь разделим степени: $\frac{10^4}{10^7} = 10^{4-7} = 10^{-3}$.

Результат деления: $0,4 \cdot 10^{-3}$.

Так как мантисса $0,4$ меньше $1$, представим ее в стандартном виде: $0,4 = 4 \cdot 10^{-1}$.

Подставим и объединим степени:

$(4 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-3} = 4 \cdot 10^{-1+(-3)} = 4 \cdot 10^{-4}$.

Ответ: $4 \cdot 10^{-4}$.

4) Выполним деление аналогично предыдущему пункту.

$\frac{1,2 \cdot 10^6}{2,4 \cdot 10^3} = \frac{1,2}{2,4} \cdot \frac{10^6}{10^3}$

Частное мантисс: $\frac{1,2}{2,4} = \frac{12}{24} = 0,5$.

Частное степеней: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$.

Промежуточный результат: $0,5 \cdot 10^3$.

Приведем мантиссу к стандартному виду: $0,5 = 5 \cdot 10^{-1}$.

Подставим и найдем окончательный результат:

$(5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^{-1+3} = 5 \cdot 10^2$.

Ответ: $5 \cdot 10^2$.