Номер 82, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 82, страница 16.

Условие.

82. Равны ли множества $A$ и $B$, если:

1) $A = \{2, 4\}$, $B = \{4, 2\}$;

2) $A = \{(2; 4)\}$, $B = \{(4; 2)\}$;

3) $A$ — множество корней уравнения $x^2 + 5 = 0$, $B = \emptyset$;

4) $A$ — множество прямоугольных равнобедренных треугольников, $B$ — множество прямоугольных треугольников с углом $45^{\circ}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Порядок элементов в множестве не имеет значения. Множество $A = \{2, 4\}$ содержит элементы 2 и 4. Множество $B = \{4, 2\}$ также содержит элементы 2 и 4. Поскольку оба множества содержат одинаковые элементы, они равны.

Ответ: Да, множества равны.

2) Элементами данных множеств являются упорядоченные пары. Множество A содержит один элемент — упорядоченную пару $(2; 4)$. Множество B содержит один элемент — упорядоченную пару $(4; 2)$. Упорядоченные пары $(a; b)$ и $(c; d)$ равны тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$. В данном случае $2 \neq 4$, поэтому упорядоченные пары $(2; 4)$ и $(4; 2)$ не равны. Так как множества A и B состоят из разных элементов, они не равны.

Ответ: Нет, множества не равны.

3) Множество A — это множество корней уравнения $x^2 + 5 = 0$. Решим это уравнение: $x^2 = -5$. В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, множество A является пустым множеством, то есть $A = \emptyset$. Множество B по условию также является пустым множеством, $B = \emptyset$. Поскольку оба множества пусты, они равны.

Ответ: Да, множества равны.

4) Чтобы определить, равны ли множества A и B, нужно проверить, совпадают ли их определения.
Возьмем любой треугольник из множества A. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. Один из его углов равен $90^\circ$. Так как он равнобедренный, углы при основании равны. В прямоугольном треугольнике равными могут быть только острые углы. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, сумма двух острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку эти углы равны, каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Таким образом, любой прямоугольный равнобедренный треугольник имеет угол $45^\circ$ и, следовательно, принадлежит множеству B.
Теперь возьмем любой треугольник из множества B. Это прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$. Один угол равен $90^\circ$, другой — $45^\circ$. Третий угол равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как у этого треугольника есть два равных угла (по $45^\circ$), он является равнобедренным. Таким образом, любой прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$ является равнобедренным и, следовательно, принадлежит множеству A.
Поскольку каждый элемент множества A принадлежит множеству B, и каждый элемент множества B принадлежит множеству A, эти множества равны.

Ответ: Да, множества равны.