Номер 78, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 78, страница 16.

Условие.

78. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = a - 2;$

2) $(a - 2)\sqrt{x} = 0;$

3) $\sqrt{a(x - 2)} = 0;$

4) $(a - 2)\sqrt{x} = a - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение $\sqrt{x} = a - 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \ge 0$. Кроме того, по определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело решения, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a - 2 \ge 0$, что эквивалентно $a \ge 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < 2$, то правая часть $a - 2$ отрицательна. Уравнение принимает вид $\sqrt{x} = \text{отрицательное число}$, что невозможно. Следовательно, в этом случае у уравнения нет корней.

2. Если $a \ge 2$, то правая часть $a - 2$ неотрицательна. Можно возвести обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (a - 2)^2$
$x = (a - 2)^2$.
Поскольку $(a - 2)^2 \ge 0$, полученное значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: при $a < 2$ корней нет; при $a \ge 2$ уравнение имеет единственный корень $x = (a - 2)^2$.

2)

Дано уравнение $(a - 2)\sqrt{x} = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, получаем совокупность: $a - 2 = 0$ или $\sqrt{x} = 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x} = 0$, или $0=0$. Это тождество, верное для любого значения $x$ из области допустимых значений. Следовательно, при $a = 2$ решением уравнения является любое неотрицательное число, то есть $x \ge 0$.

2. Если $a - 2 \ne 0$, то есть $a \ne 2$. В этом случае для выполнения равенства $(a - 2)\sqrt{x} = 0$ необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $\sqrt{x} = 0$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 0$.

Ответ: при $a = 2$ решением является $x \ge 0$; при $a \ne 2$ уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

3)

Дано уравнение $\sqrt{a(x - 2)} = 0$.

Уравнение вида $\sqrt{A} = 0$ равносильно уравнению $A = 0$ (условие $A \ge 0$ при этом выполняется автоматически). Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению: $a(x - 2) = 0$.

Рассмотрим два случая для параметра $a$.

1. Если $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot (x - 2) = 0$, или $0=0$. Это тождество, верное для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число $x \in \mathbb{R}$.

2. Если $a \ne 0$. Из уравнения $a(x - 2) = 0$, поскольку $a \ne 0$, следует, что $x - 2 = 0$. Отсюда получаем единственный корень $x = 2$.

Ответ: при $a = 0$ решением является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); при $a \ne 0$ уравнение имеет единственный корень $x = 2$.

4)

Дано уравнение $(a - 2)\sqrt{x} = a - 2$.

ОДЗ: $x \ge 0$. Для решения этого уравнения с параметром рассмотрим два случая в зависимости от значения множителя $(a-2)$.

1. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$. Подставим это значение в уравнение: $0 \cdot \sqrt{x} = 0$, или $0=0$.
Это равенство является тождеством и выполняется для любого $x$ из области допустимых значений. Следовательно, при $a = 2$ решением уравнения является любое неотрицательное число, то есть $x \ge 0$.

2. Если $a - 2 \ne 0$, то есть $a \ne 2$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на ненулевое выражение $(a-2)$: $\sqrt{x} = \frac{a - 2}{a - 2}$
$\sqrt{x} = 1$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 1^2$
$x = 1$.
Это значение ($x=1$) удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: при $a = 2$ решением является $x \ge 0$; при $a \ne 2$ уравнение имеет единственный корень $x = 1$.