Номер 6.8, страница 30 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

VI. Расчёт характеристик электрических цепей - номер 6.8, страница 30.

Условие.

6.8 Жила медного провода, используемого для электропроводки, имеет площадь поперечного сечения $4\text{ мм}^2$. Какую площадь поперечного сечения должен иметь алюминиевый провод, чтобы длина и сопротивление линии не изменились?

Решение.

Дано:

Материал 1: медь (Cu)
Материал 2: алюминий (Al)
Площадь поперечного сечения медного провода, $S_{Cu} = 4 \text{ мм}^2$
Условие равенства длин: $L_{Cu} = L_{Al} = L$
Условие равенства сопротивлений: $R_{Cu} = R_{Al} = R$
Удельное сопротивление меди (из табличных данных), $\rho_{Cu} = 0.017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$
Удельное сопротивление алюминия (из табличных данных), $\rho_{Al} = 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Перевод в систему СИ:
$S_{Cu} = 4 \text{ мм}^2 = 4 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$\rho_{Cu} = 0.017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$\rho_{Al} = 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Площадь поперечного сечения алюминиевого провода, $S_{Al}$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:$R = \rho \frac{L}{S}$где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{L}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем формулу сопротивления для медного провода:$R_{Cu} = \rho_{Cu} \frac{L_{Cu}}{S_{Cu}}$

Запишем формулу сопротивления для алюминиевого провода:$R_{Al} = \rho_{Al} \frac{L_{Al}}{S_{Al}}$

По условию задачи, длина и сопротивление проводов должны быть одинаковыми:$L_{Cu} = L_{Al}$$R_{Cu} = R_{Al}$

Приравняем выражения для сопротивлений:$\rho_{Cu} \frac{L_{Cu}}{S_{Cu}} = \rho_{Al} \frac{L_{Al}}{S_{Al}}$

Так как длины проводов равны ($L_{Cu} = L_{Al}$), мы можем сократить их в уравнении:$\frac{\rho_{Cu}}{S_{Cu}} = \frac{\rho_{Al}}{S_{Al}}$

Выразим из этого уравнения искомую площадь поперечного сечения алюминиевого провода $S_{Al}$:$S_{Al} = S_{Cu} \cdot \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}$

Подставим известные значения в полученную формулу. Для удобства вычислений будем использовать значения в исходных единицах ($\text{мм}^2$ для площади и $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ для удельного сопротивления), так как единицы измерения удельного сопротивления сократятся, и результат для площади будет сразу в $\text{мм}^2$.

$S_{Al} = 4 \text{ мм}^2 \cdot \frac{0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}{0.017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}$

$S_{Al} = 4 \cdot \frac{0.028}{0.017} \text{ мм}^2 \approx 4 \cdot 1.647 \text{ мм}^2 \approx 6.588 \text{ мм}^2$

Округлим результат до десятых.$S_{Al} \approx 6.6 \text{ мм}^2$

Ответ: чтобы длина и сопротивление линии не изменились, алюминиевый провод должен иметь площадь поперечного сечения примерно $6.6 \text{ мм}^2$.