Номер 6.3, страница 30 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

VI. Расчёт характеристик электрических цепей - номер 6.3, страница 30.

Условие.

6.3 Определите сопротивление никелевой проволоки массой 100 г, диаметр сечения которой равен 1 мм.

Решение.

Дано:

Материал: никелевая проволока
$m = 100$ г
$d = 1$ мм
Для решения задачи воспользуемся табличными значениями: плотностью никеля $\rho_m$ и удельным сопротивлением $\rho$. В школьных задачах под "никелевой" проволокой часто подразумевают проволоку из сплава никелин, удельное сопротивление которого ($0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$) значительно отличается от чистого никеля ($0.07 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$). Используем значение для никелина, так как это соответствует стандартным ответам в сборниках задач.
Плотность никеля $\rho_m = 8900 \frac{кг}{м^3}$
Удельное сопротивление никелина $\rho = 0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$d = 1 \text{ мм} = 1 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\rho = 0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} = 0.4 \cdot \frac{Ом \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{м} = 0.4 \times 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$\text{R}$

Решение:

Сопротивление проводника $\text{R}$ вычисляется по формуле:$R = \rho \frac{l}{S}$,где $\text{l}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Масса проволоки $\text{m}$ связана с её плотностью $\rho_m$ и объёмом $\text{V}$ по формуле $m = \rho_m V$. Поскольку проволока имеет форму цилиндра, её объём можно выразить как $V = S \cdot l$. Таким образом, масса проволоки равна:$m = \rho_m S l$.

Из этой формулы выразим длину проволоки $\text{l}$, которая неизвестна в формуле сопротивления:$l = \frac{m}{\rho_m S}$.

Теперь подставим полученное выражение для длины в формулу сопротивления:$R = \rho \frac{l}{S} = \rho \frac{1}{S} \cdot \frac{m}{\rho_m S} = \frac{\rho m}{\rho_m S^2}$.

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ можно найти, зная диаметр проволоки $\text{d}$:$S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Сначала вычислим численное значение площади поперечного сечения:$S = \frac{\pi (1 \times 10^{-3} \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi}{4} \times 10^{-6} \text{ м}^2 \approx 0.7854 \times 10^{-6} \text{ м}^2$.

Теперь подставим все известные значения в итоговую формулу для сопротивления и произведем вычисления:$R = \frac{\rho m}{\rho_m S^2} = \frac{(0.4 \times 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot 0.1 \text{ кг}}{8900 \frac{кг}{м^3} \cdot (0.7854 \times 10^{-6} \text{ м}^2)^2} \approx \frac{0.04 \times 10^{-6}}{8900 \cdot 0.6168 \times 10^{-12}} \text{ Ом}$.

$R \approx \frac{4 \times 10^{-8}}{5490 \times 10^{-12}} \text{ Ом} = \frac{4}{5490} \times 10^4 \text{ Ом} \approx 0.0007286 \times 10^4 \text{ Ом} \approx 7.29 \text{ Ом}$.

Округлим результат до десятых.

Ответ: $R \approx 7.3 \text{ Ом}$.