Номер 6.6, страница 30 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

VI. Расчёт характеристик электрических цепей - номер 6.6, страница 30.

Условие.

6.6 Длину вольфрамовой проволоки увеличили вытягиванием в 1,4 раза, при этом её диаметр уменьшился в 1,6 раза. Во сколько раз и как изменилось сопротивление проволоки?

Решение.

Дано:

$ \frac{L_2}{L_1} = 1.4 $
$ \frac{d_1}{d_2} = 1.6 $

Найти:

$ \frac{R_2}{R_1} $ - ?

Решение:

Сопротивление проводника $\text{R}$ определяется по формуле: $ R = \rho \frac{L}{S} $, где $ \rho $ — удельное сопротивление материала (в данном случае вольфрама, оно не изменяется), $ L $ — длина проводника, $ S $ — площадь поперечного сечения.

Площадь поперечного сечения круглого провода выражается через его диаметр $ d $ по формуле: $ S = \frac{\pi d^2}{4} $.

Подставив выражение для площади в формулу сопротивления, получим зависимость сопротивления от длины и диаметра:

$ R = \rho \frac{L}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2} $

Запишем выражения для начального сопротивления $ R_1 $ (до вытягивания) и конечного сопротивления $ R_2 $ (после вытягивания):

$ R_1 = \frac{4 \rho L_1}{\pi d_1^2} $

$ R_2 = \frac{4 \rho L_2}{\pi d_2^2} $

Чтобы найти, во сколько раз изменилось сопротивление, найдем отношение $ \frac{R_2}{R_1} $:

$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{4 \rho L_2}{\pi d_2^2}}{\frac{4 \rho L_1}{\pi d_1^2}} = \frac{L_2}{L_1} \cdot \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{L_2}{L_1} \cdot (\frac{d_1}{d_2})^2 $

Подставим в полученное выражение числовые значения из условия задачи: длина увеличилась в 1,4 раза ($ \frac{L_2}{L_1} = 1.4 $), а диаметр уменьшился в 1,6 раза ($ \frac{d_1}{d_2} = 1.6 $).

$ \frac{R_2}{R_1} = 1.4 \cdot (1.6)^2 $

Выполним вычисления:

$ \frac{R_2}{R_1} = 1.4 \cdot 2.56 = 3.584 $

Поскольку полученное отношение больше единицы, сопротивление проволоки увеличилось.

Ответ: сопротивление проволоки увеличилось в 3,584 раза.