Номер 5, страница 66, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Строение и свойства вещества. Тепловые явления. Параграф 16. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 5, страница 66.

Условие.

5. Бассейн наполняется водой из двух кранов: горячей водой с температурой 60 °C и холодной водой с температурой 18 °C. Определите объёмы горячей и холодной воды, необходимые для заполнения бассейна, если бассейн необходимо наполнить до объёма 800 л, а температура воды должна быть 28 °C. Теплообменом с окружающей средой пренебрегите.

Решение.

Дано:

Температура горячей воды $t_1 = 60°C$

Температура холодной воды $t_2 = 18°C$

Конечная температура смеси $\theta = 28°C$

Общий объём бассейна $V_{общ} = 800 \text{ л}$

$V_{общ} = 800 \text{ л} = 800 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.8 \text{ м}^3$

Найти:

Объём горячей воды $V_1$

Объём холодной воды $V_2$

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды составляется уравнение теплового баланса. Согласно ему, количество теплоты, которое отдаёт горячая вода, остывая до температуры смеси, равно количеству теплоты, которое получает холодная вода, нагреваясь до той же температуры. По условию, теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

Уравнение теплового баланса имеет вид: $Q_{отданное} = Q_{полученное}$.

Количество теплоты, отданное горячей водой, равно $Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - \theta)$, где $\text{c}$ – удельная теплоёмкость воды, а $m_1$ – масса горячей воды.

Количество теплоты, полученное холодной водой, равно $Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (\theta - t_2)$, где $m_2$ – масса холодной воды.

Приравниваем эти два выражения:

$c \cdot m_1 \cdot (t_1 - \theta) = c \cdot m_2 \cdot (\theta - t_2)$

Удельная теплоёмкость воды $\text{c}$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$m_1 \cdot (t_1 - \theta) = m_2 \cdot (\theta - t_2)$

Массу воды можно выразить через её объём $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Будем считать плотность воды постоянной для данного диапазона температур.

$\rho \cdot V_1 \cdot (t_1 - \theta) = \rho \cdot V_2 \cdot (\theta - t_2)$

Плотность $\rho$ также сокращается:

$V_1 \cdot (t_1 - \theta) = V_2 \cdot (\theta - t_2)$

Кроме того, мы знаем, что суммарный объём горячей и холодной воды равен общему объёму бассейна:

$V_1 + V_2 = V_{общ}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $V_1$ и $V_2$:

$\begin{cases}V_1(t_1 - \theta) = V_2(\theta - t_2) \\V_1 + V_2 = V_{общ}\end{cases}$

Из второго уравнения выразим объём холодной воды $V_2 = V_{общ} - V_1$ и подставим его в первое уравнение:

$V_1(t_1 - \theta) = (V_{общ} - V_1)(\theta - t_2)$

Теперь решим это уравнение относительно $V_1$:

$V_1 \cdot t_1 - V_1 \cdot \theta = V_{общ} \cdot \theta - V_{общ} \cdot t_2 - V_1 \cdot \theta + V_1 \cdot t_2$

$V_1 \cdot t_1 - V_1 \cdot t_2 = V_{общ}(\theta - t_2)$

$V_1(t_1 - t_2) = V_{общ}(\theta - t_2)$

$V_1 = V_{общ} \frac{\theta - t_2}{t_1 - t_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Расчёты можно проводить в литрах.

$V_1 = 800 \text{ л} \cdot \frac{28 - 18}{60 - 18} = 800 \text{ л} \cdot \frac{10}{42} = 800 \text{ л} \cdot \frac{5}{21} = \frac{4000}{21} \text{ л} \approx 190.5 \text{ л}$

Теперь найдём объём холодной воды:

$V_2 = V_{общ} - V_1 = 800 \text{ л} - 190.5 \text{ л} = 609.5 \text{ л}$

Ответ: для заполнения бассейна необходимо взять примерно 190.5 л горячей воды и 609.5 л холодной воды.