Номер 2, страница 127, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Тепловые явления. Параграф 5. Удельная теплоёмкость - номер 2, страница 127.

Условие.

2. Ученик измерил жидкостным термометром температуру горячей воды, положил термометр на стол и заметил, что показания термометра уменьшились от $80^\circ \text{C}$ до $78^\circ \text{C}$ за $2 \text{ с}$. За какой промежуток времени показания термометра уменьшатся от $40^\circ \text{C}$ до $38^\circ \text{C}$? Известно, что количество теплоты, передаваемое телом окружающей среде за один и тот же малый промежуток времени, прямо пропорционально разности температур между телом и окружающей средой. Температура в комнате равна $20^\circ \text{C}$.

Решение.

Дано

Начальная температура первого интервала, $T_{1i} = 80^\circ \text{C}$
Конечная температура первого интервала, $T_{1f} = 78^\circ \text{C}$
Продолжительность первого интервала, $\Delta t_1 = 2 \text{ с}$
Начальная температура второго интервала, $T_{2i} = 40^\circ \text{C}$
Конечная температура второго интервала, $T_{2f} = 38^\circ \text{C}$
Температура окружающей среды, $T_{окр} = 20^\circ \text{C}$

Так как в расчетах используется разность температур, перевод в систему СИ (в Кельвины) не требуется, потому что разность температур в градусах Цельсия и в Кельвинах одинакова. Время дано в секундах, что соответствует системе СИ.

Найти:

Продолжительность второго интервала, $\Delta t_2$.

Решение

Согласно условию задачи, количество теплоты $ \Delta Q $, отдаваемое телом окружающей среде за малый промежуток времени $ \Delta t $, прямо пропорционально разности температур между телом $ T $ и окружающей средой $ T_{окр} $. Это утверждение является формулировкой закона охлаждения Ньютона. Скорость теплообмена можно записать как:

$ \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \alpha(T - T_{окр}) $

где $ \alpha $ — коэффициент теплоотдачи, зависящий от свойств тела и условий теплообмена.

Количество теплоты, отданное телом, приводит к изменению его температуры $ \Delta T $ согласно формуле $ \Delta Q = C \cdot |\Delta T| $, где $ C $ — теплоемкость тела (в данном случае термометра).

Объединив эти два выражения, получим связь между скоростью охлаждения (скоростью изменения температуры) и разностью температур:

$ C \frac{|\Delta T|}{\Delta t} = \alpha(T - T_{окр}) $

$ \frac{|\Delta T|}{\Delta t} = \frac{\alpha}{C}(T - T_{окр}) $

Пусть $ k = \frac{\alpha}{C} $ — это некоторая постоянная величина для данного термометра и условий. Так как изменение температуры происходит в некотором интервале, в качестве температуры тела $ T $ будем использовать среднее значение температуры за этот промежуток времени $ T_{ср} $.

Таким образом, для двух разных интервалов времени мы можем записать:

$ \frac{|\Delta T_1|}{\Delta t_1} = k(T_{ср1} - T_{окр}) $ (1)

$ \frac{|\Delta T_2|}{\Delta t_2} = k(T_{ср2} - T_{окр}) $ (2)

Рассчитаем значения для первого случая (охлаждение от 80°C до 78°C):

Изменение температуры: $ |\Delta T_1| = 80^\circ\text{C} - 78^\circ\text{C} = 2^\circ\text{C} $.
Промежуток времени: $ \Delta t_1 = 2 \text{ с} $.
Средняя температура: $ T_{ср1} = \frac{80^\circ\text{C} + 78^\circ\text{C}}{2} = 79^\circ\text{C} $.
Подставим в уравнение (1):

$ \frac{2}{2} = k(79 - 20) \implies 1 = 59k $

Рассчитаем значения для второго случая (охлаждение от 40°C до 38°C):

Изменение температуры: $ |\Delta T_2| = 40^\circ\text{C} - 38^\circ\text{C} = 2^\circ\text{C} $.
Промежуток времени: $ \Delta t_2 $ (неизвестен).
Средняя температура: $ T_{ср2} = \frac{40^\circ\text{C} + 38^\circ\text{C}}{2} = 39^\circ\text{C} $.
Подставим в уравнение (2):

$ \frac{2}{\Delta t_2} = k(39 - 20) \implies \frac{2}{\Delta t_2} = 19k $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $ 1 = 59k $
2) $ \frac{2}{\Delta t_2} = 19k $

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестный коэффициент $ k $:

$ \frac{1}{2/\Delta t_2} = \frac{59k}{19k} $

$ \frac{\Delta t_2}{2} = \frac{59}{19} $

Выразим искомый промежуток времени $ \Delta t_2 $:

$ \Delta t_2 = 2 \cdot \frac{59}{19} = \frac{118}{19} \approx 6.2105 \text{ с} $

Округлим результат до сотых.

Ответ: показания термометра уменьшатся от 40 °C до 38 °C за промежуток времени $ \Delta t_2 \approx 6.21 \text{ с} $.