Номер 3, страница 127, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Тепловые явления. Параграф 5. Удельная теплоёмкость - номер 3, страница 127.

Условие.

3. Воду, протекающую по трубе внутренним диаметром 1 см, нагревают нагревателем мощностью 15 кВт. Вода движется со скоростью 1 м/с и нагревается от 20 до 60 $^\circ\text{C}$. Чему равен КПД нагревателя?

Решение.

Дано:

$d = 1$ см (внутренний диаметр трубы)
$P_{полн} = 15$ кВт (мощность нагревателя)
$v = 1$ м/с (скорость воды)
$t_1 = 20$ °C (начальная температура)
$t_2 = 60$ °C (конечная температура)
$c = 4200$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость воды)
$\rho = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:
$d = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$P_{полн} = 15 \text{ кВт} = 15000 \text{ Вт}$

Найти:

$\eta$ - КПД нагревателя

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) нагревателя определяется как отношение полезной мощности, идущей на нагрев воды ($P_{полезн}$), к полной мощности нагревателя ($P_{полн}$):

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{полн}}$

Полезная мощность равна количеству теплоты $\text{Q}$, которое получила вода, деленному на время нагрева $\tau$:

$P_{полезн} = \frac{Q}{\tau}$

Количество теплоты $\text{Q}$ для нагрева массы воды $\text{m}$ на разницу температур $\Delta t = t_2 - t_1$ находится по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

Масса воды $\text{m}$, которая протекает через сечение трубы за время $\tau$, равна произведению плотности воды $\rho$ на объем $\text{V}$, который она занимает:

$m = \rho \cdot V$

Объем $\text{V}$ можно найти как произведение площади поперечного сечения трубы $\text{S}$ на длину водяного столба $\text{L}$, прошедшего за время $\tau$:

$V = S \cdot L = S \cdot v \cdot \tau$

Площадь поперечного сечения (круга) равна $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Тогда масса воды, протекающей за время $\tau$, равна:

$m = \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot v \cdot \tau$

Подставим выражение для массы в формулу для полезной мощности:

$P_{полезн} = \frac{c \cdot (\rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot v \cdot \tau) \cdot (t_2 - t_1)}{\tau} = c \cdot \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot v \cdot (t_2 - t_1)$

Вычислим полезную мощность, подставив числовые значения в системе СИ:

$\Delta t = 60 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 40 \text{ °C}$

$P_{полезн} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{\pi \cdot (0.01 \text{ м})^2}{4} \cdot 1 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 40 \text{ °C}$

$P_{полезн} = \frac{4200 \cdot 1000 \cdot \pi \cdot 0.0001 \cdot 40}{4} = 4200 \cdot \pi \text{ Вт}$

Теперь можем рассчитать КПД, выразив его в процентах:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{полн}} \cdot 100\% = \frac{4200 \pi \text{ Вт}}{15000 \text{ Вт}} \cdot 100\% = \frac{42 \pi}{150} \cdot 100\% = \frac{7 \pi}{25} \cdot 100\%$

$\eta \approx \frac{7 \cdot 3.1416}{25} \cdot 100\% \approx 0.8796 \cdot 100\% \approx 88\%$

Ответ: КПД нагревателя равен примерно 88%.