Номер 1, страница 127, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Тепловые явления. Параграф 7. Плавление и кристаллизация - номер 1, страница 127.

Условие.

1. Вода массой 500 г и лёд массой 300 г находятся в калориметре в тепловом равновесии. Что будет находиться в калориметре и какова будет температура его содержимого после установления теплового равновесия, если долить в калориметр:

а) 100 г кипятка;

б) 500 г кипятка?

Решение.

Поскольку вода и лёд изначально находятся в калориметре в тепловом равновесии, их начальная температура равна температуре плавления льда, то есть $t_1 = 0$ °С.
Для решения задачи нам понадобятся справочные данные:
Удельная теплоемкость воды: $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$.
Удельная теплота плавления льда: $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$.
Температура кипятка: $t_к = 100$ °С.

а) 100 г кипятка

Дано:

$m_{в1} = 500$ г (масса воды в калориметре)
$m_{л} = 300$ г (масса льда)
$t_1 = 0$ °С (начальная температура системы)
$m_{к_a} = 100$ г (масса добавленного кипятка)
$t_{к} = 100$ °С (температура кипятка)

$m_{в1} = 0.5$ кг
$m_{л} = 0.3$ кг
$m_{к_a} = 0.1$ кг

Найти:

Конечная температура $t_2$ и состав содержимого калориметра.

Решение:
Сначала определим, хватит ли тепла, выделяемого кипятком при остывании до 0 °С, чтобы растопить весь лёд.
1. Количество теплоты, которое может выделить кипяток, остывая от 100 °С до 0 °С:
$Q_1 = c_в \cdot m_{к_a} \cdot (t_к - t_1) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot (100 \text{°С} - 0 \text{°С}) = 42000$ Дж.
2. Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда при 0 °С:
$Q_2 = \lambda \cdot m_л = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.3 \text{ кг} = 99000$ Дж.
3. Сравним полученные значения: $Q_1 < Q_2$ ($42000 \text{ Дж} < 99000 \text{ Дж}$).
Это означает, что тепла, выделенного кипятком, не хватит, чтобы растопить весь лёд. Следовательно, в калориметре останется смесь воды и льда, а конечная температура установится на уровне 0 °С.
4. Найдём массу льда, которая расплавится за счёт тепла от кипятка:
$m_{распл} = \frac{Q_1}{\lambda} = \frac{42000 \text{ Дж}}{3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}} \approx 0.127$ кг, или 127 г.
5. Определим конечный состав содержимого калориметра:
Масса оставшегося льда: $m_{л2} = m_л - m_{распл} = 300 \text{ г} - 127 \text{ г} = 173$ г.
Общая масса воды: $m_{в2} = m_{в1} + m_{к_a} + m_{распл} = 500 \text{ г} + 100 \text{ г} + 127 \text{ г} = 727$ г.
Конечная температура системы: $t_2 = 0$ °С.

Ответ: В калориметре будет находиться смесь воды массой 727 г и льда массой 173 г при температуре 0 °С.

б) 500 г кипятка

Дано:

$m_{в1} = 500$ г
$m_{л} = 300$ г
$t_1 = 0$ °С
$m_{к_b} = 500$ г (масса добавленного кипятка)
$t_{к} = 100$ °С

$m_{в1} = 0.5$ кг
$m_{л} = 0.3$ кг
$m_{к_b} = 0.5$ кг

Найти:

Конечная температура $t_2$ и состав содержимого калориметра.

Решение:
Аналогично предыдущему пункту, проверим, хватит ли тепла от кипятка для плавления всего льда.
1. Количество теплоты, которое может выделить кипяток, остывая от 100 °С до 0 °С:
$Q_1 = c_в \cdot m_{к_b} \cdot (t_к - t_1) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 0.5 \text{ кг} \cdot (100 \text{°С} - 0 \text{°С}) = 210000$ Дж.
2. Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда, по-прежнему составляет:
$Q_2 = \lambda \cdot m_л = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.3 \text{ кг} = 99000$ Дж.
3. Сравниваем значения: $Q_1 > Q_2$ ($210000 \text{ Дж} > 99000 \text{ Дж}$).
Тепла, выделенного кипятком, достаточно, чтобы растопить весь лёд, и ещё останется тепло для нагрева всей воды до некоторой конечной температуры $t_2 > 0$ °С.
4. Составим уравнение теплового баланса. Теплота, отданная кипятком при остывании до $t_2$, пойдёт на плавление льда и на нагрев всей воды (начальной и образовавшейся изо льда) от 0 °С до $t_2$.
$Q_{отданное} = Q_{полученное}$
$c_в \cdot m_{к_b} \cdot (t_к - t_2) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot (m_{в1} + m_л) \cdot (t_2 - t_1)$
Подставляя $t_1 = 0$ °С и $t_к = 100$ °С, получаем:
$c_в \cdot m_{к_b} \cdot (100 - t_2) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot (m_{в1} + m_л) \cdot t_2$
Раскроем скобки и выразим $t_2$:
$c_в \cdot m_{к_b} \cdot 100 - c_в \cdot m_{к_b} \cdot t_2 = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_{в1} \cdot t_2 + c_в \cdot m_л \cdot t_2$
$c_в \cdot m_{к_b} \cdot 100 - \lambda \cdot m_л = (c_в \cdot m_{в1} + c_в \cdot m_л + c_в \cdot m_{к_b}) \cdot t_2$
$t_2 = \frac{c_в \cdot m_{к_b} \cdot 100 - \lambda \cdot m_л}{c_в \cdot (m_{в1} + m_л + m_{к_b})}$
5. Подставим числовые значения:
$t_2 = \frac{4200 \cdot 0.5 \cdot 100 - 3.3 \cdot 10^5 \cdot 0.3}{4200 \cdot (0.5 + 0.3 + 0.5)} = \frac{210000 - 99000}{4200 \cdot 1.3} = \frac{111000}{5460} \approx 20.3$ °С.
Весь лёд растает, и в калориметре будет только вода.
Общая масса воды: $m_{в2} = m_{в1} + m_л + m_{к_b} = 500 \text{ г} + 300 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1300$ г.

Ответ: В калориметре будет находиться 1300 г воды при температуре примерно 20.3 °С.