Номер 5, страница 127, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Олимпиадные задачи. Глава II. Тепловые явления. Параграф 5. Удельная теплоёмкость - номер 5, страница 127.

Условие.

5. В одной металлической банке содержится холодное молоко, а в другой такой же банке — такая же масса горячей воды. Как с помощью теплопередачи добиться того, чтобы молоко стало теплее воды? Можно использовать дополнительные сосуды и приводить их в соприкосновение, но нельзя смешивать воду с молоком. Предложите конкретную последовательность действий с описанием результатов этих действий. Примите, что удельные теплоёмкости молока и воды одинаковы и что потерями тепла на нагревание сосудов можно пренебречь.

Решение.

Для того чтобы молоко стало теплее воды, необходимо осуществить процесс теплопередачи в несколько этапов, используя дробление одной из жидкостей. Ключевая идея состоит в том, чтобы горячая вода отдавала свое тепло не всей массе холодного молока сразу, а по частям. Рассмотрим конкретную последовательность действий.

Дано

Масса молока: $m_м$

Масса воды: $m_в$

Начальная температура молока: $T_м^0$

Начальная температура воды: $T_в^0$

Удельная теплоемкость молока: $c_м$

Удельная теплоемкость воды: $c_в$

По условию:

$m_м = m_в = m$

$c_м = c_в = c$

$T_в^0 > T_м^0$

Потерями тепла на нагревание сосудов можно пренебречь.

Найти:

Последовательность действий, в результате которой конечная температура молока $T_м^{кон}$ станет выше конечной температуры воды $T_в^{кон}$.

Решение

Предложим следующую последовательность действий:

1. Разделим все холодное молоко на две равные части массой $m/2$ каждая. Поместим эти части в два разных сосуда (один исходный и один дополнительный).

2. Приведем в тепловой контакт сосуд со всей горячей водой (масса $\text{m}$, температура $T_в^0$) и сосуд с первой половиной молока (масса $m/2$, температура $T_м^0$). Дождемся установления теплового равновесия. Новая температура $T_1$ для воды и первой части молока найдется из уравнения теплового баланса:

Количество теплоты, отданное водой: $Q_{отд} = m \cdot c \cdot (T_в^0 - T_1)$

Количество теплоты, полученное молоком: $Q_{пол} = \frac{m}{2} \cdot c \cdot (T_1 - T_м^0)$

Из $Q_{отд} = Q_{пол}$ следует:

$m c (T_в^0 - T_1) = \frac{m}{2} c (T_1 - T_м^0)$

$2(T_в^0 - T_1) = T_1 - T_м^0$

$2T_в^0 - 2T_1 = T_1 - T_м^0$

$3T_1 = 2T_в^0 + T_м^0 \implies T_1 = \frac{2T_в^0 + T_м^0}{3}$

Результат первого этапа: вся вода и первая половина молока теперь имеют температуру $T_1$. Вторая половина молока все еще имеет температуру $T_м^0$.

3. Теперь приведем в тепловой контакт сосуд с водой, уже остывшей до температуры $T_1$, и сосуд со второй половиной молока (масса $m/2$, температура $T_м^0$). Дождемся установления нового теплового равновесия. Конечная температура воды $T_в^{кон}$ (и второй половины молока) найдется из уравнения теплового баланса:

$m c (T_1 - T_в^{кон}) = \frac{m}{2} c (T_в^{кон} - T_м^0)$

$2(T_1 - T_в^{кон}) = T_в^{кон} - T_м^0$

$3T_в^{кон} = 2T_1 + T_м^0$

Подставим найденное ранее значение $T_1$:

$3T_в^{кон} = 2\left(\frac{2T_в^0 + T_м^0}{3}\right) + T_м^0 = \frac{4T_в^0 + 2T_м^0 + 3T_м^0}{3} = \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{3}$

$T_в^{кон} = \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{9}$

Результат второго этапа: конечная температура воды стала $T_в^{кон}$. Вторая половина молока также нагрелась до этой температуры.

4. На данный момент у нас есть две части молока с разными температурами: первая часть имеет температуру $T_1 = \frac{2T_в^0 + T_м^0}{3}$, а вторая — $T_в^{кон} = \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{9}$. Чтобы получить единую конечную температуру молока, смешаем обе части. Так как их массы равны ($m/2$), итоговая температура $T_м^{кон}$ будет средним арифметическим их температур:

$T_м^{кон} = \frac{T_1 + T_в^{кон}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2T_в^0 + T_м^0}{3} + \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{9} \right)$

$T_м^{кон} = \frac{1}{2} \left( \frac{3(2T_в^0 + T_м^0)}{9} + \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{9} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6T_в^0 + 3T_м^0 + 4T_в^0 + 5T_м^0}{9} \right)$

$T_м^{кон} = \frac{1}{2} \left( \frac{10T_в^0 + 8T_м^0}{9} \right) = \frac{5T_в^0 + 4T_м^0}{9}$

Результат третьего этапа: конечная температура всего молока равна $T_м^{кон}$.

5. Сравним конечные температуры молока и воды:

$T_м^{кон} = \frac{5T_в^0 + 4T_м^0}{9}$

$T_в^{кон} = \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{9}$

Найдем их разность:

$T_м^{кон} - T_в^{кон} = \frac{5T_в^0 + 4T_м^0}{9} - \frac{4T_в^0 + 5T_м^0}{9} = \frac{(5T_в^0 - 4T_в^0) + (4T_м^0 - 5T_м^0)}{9} = \frac{T_в^0 - T_м^0}{9}$

Так как по условию начальная температура воды выше начальной температуры молока ($T_в^0 > T_м^0$), их разность $T_в^0 - T_м^0$ положительна. Следовательно, $T_м^{кон} - T_в^{кон} > 0$, что означает $T_м^{кон} > T_в^{кон}$. Цель достигнута.

Ответ:

Для того чтобы молоко стало теплее воды, нужно выполнить следующую последовательность действий:

1. Разделить все холодное молоко на две равные части, перелив половину в дополнительный сосуд.
2. Привести в тепловой контакт сосуд со всей горячей водой и сосуд с первой половиной молока. Дождаться, пока их температуры выровняются.
3. Затем привести в тепловой контакт тот же сосуд с водой (теперь уже немного остывшей) и сосуд со второй половиной молока. Снова дождаться установления теплового равновесия.
4. После этого смешать обе нагретые части молока вместе в одном сосуде.

В результате этих действий конечная температура молока окажется выше конечной температуры воды.