Номер 4.62, страница 24 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 4. Удельная теплоемкость. Уравнение теплового баланса - номер 4.62, страница 24.

Условие.

4.62. В одном сосуде находится 1 л холодного молока при температуре 20 °С, а во втором сосуде — такое же количество горячей воды при температуре 80 °С. Как, используя теплопередачу между молоком и водой, сделать так, чтобы молоко стало теплее воды? Разрешается применять дополнительные сосуды и приводить их в соприкосновение, но смешивать воду с молоком нельзя. Считайте плотность и удельную теплоемкость молока такими же, как у воды.

Решение.

Дано:

Объем молока, $V_м = 1$ л

Температура молока, $t_м = 20$ °C

Объем воды, $V_в = 1$ л

Температура воды, $t_в = 80$ °C

Плотность молока равна плотности воды: $\rho_м = \rho_в$

Удельная теплоемкость молока равна удельной теплоемкости воды: $c_м = c_в$

$V_м = 1 \text{ л} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$T_м = 20 + 273,15 = 293,15 \text{ К}$

$V_в = 1 \text{ л} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$T_в = 80 + 273,15 = 353,15 \text{ К}$

Найти:

Способ, как сделать молоко теплее воды ($t_{м,кон} > t_{в,кон}$).

Решение:

Если просто привести в тепловой контакт сосуд с молоком и сосуд с водой, то тепло будет передаваться от горячей воды к холодному молоку до тех пор, пока их температуры не выравняются. Поскольку по условию объемы, плотности и удельные теплоемкости жидкостей одинаковы, то их массы и, следовательно, теплоемкости ($C=cm$) также равны. Конечная температура равновесия $t_{равн}$ будет средним арифметическим начальных температур:

$t_{равн} = \frac{t_м + t_в}{2} = \frac{20^\circ\text{C} + 80^\circ\text{C}}{2} = 50^\circ\text{C}$

При этом молоко не станет теплее воды. Чтобы достичь цели, необходимо применить более сложный, многостадийный процесс теплообмена.

Воспользуемся дополнительным сосудом и разделим горячую воду на две равные части по $0,5$ л. Изначально обе части имеют температуру $80^\circ\text{C}$.

Сначала приведем в тепловой контакт сосуд со всем молоком ($\text{1}$ л, $20^\circ\text{C}$) и сосуд с первой половиной воды ($0,5$ л, $80^\circ\text{C}$). Масса молока $m_м$ вдвое больше массы этой части воды $m_{в1}$. Запишем уравнение теплового баланса, где $t_1$ — установившаяся температура (потерями тепла в окружающую среду пренебрегаем):

$c \cdot m_м \cdot (t_1 - 20^\circ\text{C}) = c \cdot m_{в1} \cdot (80^\circ\text{C} - t_1)$

Поскольку $m_м = 2m_{в1}$, получаем:

$2 \cdot (t_1 - 20^\circ\text{C}) = 80^\circ\text{C} - t_1$

$2t_1 - 40^\circ\text{C} = 80^\circ\text{C} - t_1 \implies 3t_1 = 120^\circ\text{C} \implies t_1 = 40^\circ\text{C}$

Теперь температура молока (а также первой половины воды) составляет $40^\circ\text{C}$.

Далее, приведем в тепловой контакт сосуд с уже подогретым молоком ($\text{1}$ л, $40^\circ\text{C}$) со второй половиной воды, которая все еще имеет температуру $80^\circ\text{C}$. Пусть новая температура равновесия будет $t_2$. Снова запишем уравнение теплового баланса:

$c \cdot m_м \cdot (t_2 - 40^\circ\text{C}) = c \cdot m_{в2} \cdot (80^\circ\text{C} - t_2)$

$2 \cdot (t_2 - 40^\circ\text{C}) = 80^\circ\text{C} - t_2$

$2t_2 - 80^\circ\text{C} = 80^\circ\text{C} - t_2 \implies 3t_2 = 160^\circ\text{C} \implies t_2 = \frac{160}{3}^\circ\text{C} \approx 53,3^\circ\text{C}$

Это и есть конечная температура молока: $t_{м,кон} = 160/3^\circ\text{C}$.

Теперь определим конечную температуру всей воды. Она состоит из двух равных частей: первая часть остыла до $t_1 = 40^\circ\text{C}$, а вторая — до $t_2 = 160/3^\circ\text{C}$. Конечная температура всей воды, если ее собрать вместе, будет равна среднему арифметическому температур ее частей, так как их массы равны:

$t_{в,кон} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{40^\circ\text{C} + \frac{160}{3}^\circ\text{C}}{2} = \frac{\frac{120}{3}^\circ\text{C} + \frac{160}{3}^\circ\text{C}}{2} = \frac{\frac{280}{3}^\circ\text{C}}{2} = \frac{140}{3}^\circ\text{C} \approx 46,7^\circ\text{C}$

Сравнивая конечные температуры, получаем:

$t_{м,кон} = \frac{160}{3}^\circ\text{C} \approx 53,3^\circ\text{C}$

$t_{в,кон} = \frac{140}{3}^\circ\text{C} \approx 46,7^\circ\text{C}$

Таким образом, $t_{м,кон} > t_{в,кон}$, и молоко стало теплее воды.

Ответ:

Нужно разделить горячую воду на две равные части. Сначала привести в тепловой контакт всё молоко с первой половиной воды. После установления равновесия температура молока и этой части воды станет $40^\circ\text{C}$. Затем привести в контакт подогретое молоко со второй, оставшейся горячей, половиной воды. В результате конечная температура молока станет примерно $53,3^\circ\text{C}$, а конечная средняя температура всей воды — примерно $46,7^\circ\text{C}$. Таким образом, молоко станет теплее воды.