Номер 4.58, страница 23 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 4. Удельная теплоемкость. Уравнение теплового баланса - номер 4.58, страница 23.

Условие.

4.58 Термометр подержали над огнем. После того как горелку выключили, показания термометра за 2 с уменьшились от 100 до 99 °С. За сколько времени показания термометра уменьшатся от 60 до 59 °С? Считайте, что количество теплоты, ежесекундно передаваемое телом окружающей среде, прямо пропорционально разности температур между телом и окружающей средой. Температура в комнате 20 °С.

Решение.

Дано:

$T_1 = 100 \text{ °C}$

$T_2 = 99 \text{ °C}$

$\Delta t_1 = 2 \text{ с}$

$T_3 = 60 \text{ °C}$

$T_4 = 59 \text{ °C}$

$T_{окр} = 20 \text{ °C}$

Найти:

$\Delta t_2$ — время остывания от 60 °C до 59 °C.

Решение:

Согласно условию задачи, количество теплоты, ежесекундно передаваемое телом окружающей среде (мощность теплоотдачи), прямо пропорционально разности температур между телом и окружающей средой. Это утверждение является формулировкой закона охлаждения Ньютона.

Скорость теплоотдачи (мощность) $\text{P}$ можно записать как:

$P = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = k(T - T_{окр})$

где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств тела и условий теплообмена, $\text{T}$ – температура тела, а $T_{окр}$ – температура окружающей среды.

Количество теплоты $\Delta Q$, которое теряет тело, связано с изменением его температуры $|\Delta T|$ и теплоемкостью $\text{C}$ следующим образом:

$\Delta Q = C \cdot |\Delta T|$

Объединив эти два выражения, мы получим скорость изменения температуры тела:

$\frac{C \cdot |\Delta T|}{\Delta t} = k(T - T_{окр})$

$\frac{|\Delta T|}{\Delta t} = \frac{k}{C}(T - T_{окр})$

Обозначим постоянную $\alpha = \frac{k}{C}$, которая характеризует скорость остывания тела. Тогда:

$\frac{|\Delta T|}{\Delta t} = \alpha(T - T_{окр})$

Так как температура тела $\text{T}$ изменяется в процессе остывания, для небольших интервалов времени мы можем использовать среднее значение температуры тела на этом интервале.

1. Рассмотрим первый случай остывания: от $T_1 = 100 \text{ °C}$ до $T_2 = 99 \text{ °C}$ за $\Delta t_1 = 2 \text{ с}$.

Изменение температуры: $|\Delta T_1| = 100 - 99 = 1 \text{ °C}$.

Средняя температура термометра в этом процессе: $T_{ср1} = \frac{100 + 99}{2} = 99.5 \text{ °C}$.

Средняя разность температур с окружающей средой: $T_{ср1} - T_{окр} = 99.5 - 20 = 79.5 \text{ °C}$.

Подставим эти значения в наше уравнение:

$\frac{1}{2} = \alpha \cdot 79.5 \quad (1)$

2. Рассмотрим второй случай остывания: от $T_3 = 60 \text{ °C}$ до $T_4 = 59 \text{ °C}$ за искомое время $\Delta t_2$.

Изменение температуры: $|\Delta T_2| = 60 - 59 = 1 \text{ °C}$.

Средняя температура термометра: $T_{ср2} = \frac{60 + 59}{2} = 59.5 \text{ °C}$.

Средняя разность температур с окружающей средой: $T_{ср2} - T_{окр} = 59.5 - 20 = 39.5 \text{ °C}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{1}{\Delta t_2} = \alpha \cdot 39.5 \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($\alpha$ и $\Delta t_2$). Чтобы найти $\Delta t_2$, разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это позволит нам исключить неизвестный коэффициент $\alpha$.

$\frac{1/2}{1/\Delta t_2} = \frac{\alpha \cdot 79.5}{\alpha \cdot 39.5}$

$\frac{\Delta t_2}{2} = \frac{79.5}{39.5}$

Отсюда выражаем $\Delta t_2$:

$\Delta t_2 = 2 \cdot \frac{79.5}{39.5} = 2 \cdot \frac{159}{79} \approx 4.0253 \text{ с}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: время, за которое показания термометра уменьшатся от 60 °C до 59 °C, составляет примерно 4.03 с.