Номер 4.59, страница 24 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Тепловые явления. 4. Удельная теплоемкость. Уравнение теплового баланса - номер 4.59, страница 24.

Условие.

4.59. Нагреватель мощностью 50 кВт повышает температуру воды, протекающей со скоростью 1 м/с по трубе диаметром 2 см, с 15 до 35 °С. Какая часть количества теплоты, выделяемого нагревателем, передается окружающей среде?

Решение.

Дано:

Мощность нагревателя, $P = 50$ кВт

Скорость течения воды, $v = 1$ м/с

Диаметр трубы, $d = 2$ см

Начальная температура воды, $t_1 = 15$ °C

Конечная температура воды, $t_2 = 35$ °C

Удельная теплоемкость воды, $c \approx 4200$ Дж/(кг·°C)

Плотность воды, $\rho \approx 1000$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

$P = 50 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 50000 \text{ Вт}$

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Часть количества теплоты, передаваемая окружающей среде, $\text{k}$

Решение:

Общее количество теплоты $Q_{общ}$, выделяемое нагревателем за время $\text{t}$, равно произведению его мощности $\text{P}$ на время:

$Q_{общ} = P \cdot t$

Полезное количество теплоты $Q_{полезн}$, которое идет на нагрев воды, определяется по формуле:

$Q_{полезн} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

где $\text{m}$ - масса воды, протекающей через трубу за время $\text{t}$.

Массу воды можно выразить через ее плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho \cdot V$

Объем воды, протекающей за время $\text{t}$ со скоростью $\text{v}$, равен произведению площади поперечного сечения трубы $\text{S}$ на длину пути $L = v \cdot t$:

$V = S \cdot L = S \cdot v \cdot t$

Площадь поперечного сечения трубы с диаметром $\text{d}$ равна:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим все выражения в формулу для полезной теплоты:

$Q_{полезн} = c \cdot \rho \cdot (\frac{\pi d^2}{4}) \cdot v \cdot t \cdot (t_2 - t_1)$

Количество теплоты $Q_{потерь}$, которое передается окружающей среде, является разностью между общей и полезной теплотой:

$Q_{потерь} = Q_{общ} - Q_{полезн}$

Искомая часть (доля) потерь теплоты $\text{k}$ равна отношению потерянной теплоты к общей:

$k = \frac{Q_{потерь}}{Q_{общ}} = \frac{Q_{общ} - Q_{полезн}}{Q_{общ}} = 1 - \frac{Q_{полезн}}{Q_{общ}}$

Подставим выражения для $Q_{общ}$ и $Q_{полезн}$:

$k = 1 - \frac{c \cdot \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot v \cdot t \cdot (t_2 - t_1)}{P \cdot t}$

Время $\text{t}$ сокращается, и формула принимает вид:

$k = 1 - \frac{c \cdot \rho \cdot \pi \cdot d^2 \cdot v \cdot (t_2 - t_1)}{4P}$

Теперь подставим числовые значения:

$k = 1 - \frac{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3.14 \cdot (0.02 \text{ м})^2 \cdot 1 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot (35 \text{ °C} - 15 \text{ °C})}{4 \cdot 50000 \text{ Вт}}$

$k = 1 - \frac{4200 \cdot 1000 \cdot 3.14 \cdot 0.0004 \cdot 1 \cdot 20}{200000}$

$k = 1 - \frac{105504}{200000}$

$k = 1 - 0.52752$

$k = 0.47248$

Округляя, получаем, что доля потерь составляет примерно 0.47, или 47%.

Ответ: $k \approx 0.47$ (или 47%) количества теплоты, выделяемого нагревателем, передается окружающей среде.