Номер 26.54, страница 133 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Оптические явления. 26. Отражение света. Изображение в зеркале - номер 26.54, страница 133.

Условие.

26.54. Вершинами четырехугольника являются две точки и их изображения в плоском зеркале. Может ли этот четырехугольник быть:

a) квадратом;

б) неравнобедренной трапецией;

в) ромбом с углом $60^\circ$?

Решение.

Пусть даны две точки $\text{A}$ и $\text{B}$ и плоское зеркало. Их изображениями в зеркале будут точки $A'$ и $B'$. Вершинами четырехугольника являются эти четыре точки: $\text{A}$, $\text{B}$, $A'$ и $B'$.

По определению изображения в плоском зеркале, отрезок, соединяющий точку с её изображением, перпендикулярен плоскости зеркала и делится ею пополам. Следовательно, отрезки $AA'$ и $BB'$ оба перпендикулярны плоскости зеркала, а значит, они параллельны друг другу ($AA' \parallel BB'$).

Рассмотрим четырехугольник, образованный последовательным соединением вершин $A \rightarrow B \rightarrow B' \rightarrow A'$. Поскольку две его стороны ($AA'$ и $BB'$) параллельны, этот четырехугольник является трапецией. Плоскость зеркала является плоскостью симметрии для этого четырехугольника. Боковые стороны $\text{AB}$ и $A'B'$ являются зеркальными отражениями друг друга, следовательно, их длины равны: $|AB| = |A'B'|$. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной. Таким образом, получаемый четырехугольник всегда является равнобедренной трапецией (или ее частным случаем — прямоугольником, квадратом).

а) квадратом;

Да, четырехугольник может быть квадратом. Для этого равнобедренная трапеция $ABB'A'$ должна быть прямоугольником, у которого все стороны равны.Трапеция станет прямоугольником, если ее боковые стороны ($\text{AB}$ и $A'B'$) будут перпендикулярны основаниям ($AA'$ и $BB'$). Поскольку основания перпендикулярны зеркалу, боковые стороны должны быть параллельны зеркалу. То есть отрезок, соединяющий исходные точки $\text{A}$ и $\text{B}$, должен быть параллелен плоскости зеркала.В этом случае стороны прямоугольника равны длине отрезка $|AB|$ и расстоянию между основаниями, которое равно $|AA'|$ (при условии, что точки $\text{A}$ и $\text{B}$ находятся на одинаковом расстоянии от зеркала). Для того чтобы прямоугольник был квадратом, его смежные стороны должны быть равны: $|AB| = |AA'|$.Расстояние $|AA'|$ равно удвоенному расстоянию от точки $\text{A}$ до зеркала. Обозначим это расстояние как $\text{d}$, тогда $|AA'| = 2d$.Таким образом, четырехугольник будет квадратом, если отрезок $\text{AB}$ параллелен зеркалу, а его длина равна удвоенному расстоянию от точек до зеркала.

Ответ: Да, может.

б) неравнобедренной трапецией;

Как было показано выше, четырехугольник $ABB'A'$ является трапецией, у которой боковые стороны $\text{AB}$ и $A'B'$ равны, так как являются зеркальным отражением друг друга. Трапеция с равными боковыми сторонами по определению является равнобедренной. Следовательно, она не может быть неравнобедренной.

Ответ: Нет, не может.

в) ромбом с углом 60°?

Нет, четырехугольник не может быть ромбом с углом 60°. Рассмотрим почему.1. Любой четырехугольник, образованный вершинами $A, B, A', B'$, будет иметь плоскость зеркала в качестве плоскости симметрии.2. Ромб, не являющийся квадратом, имеет ровно две оси симметрии — его диагонали.3. Следовательно, если бы наш четырехугольник был ромбом (но не квадратом), то плоскость зеркала должна была бы совпадать с одной из его диагоналей.4. Если плоскость зеркала совпадает с диагональю, то две вершины ромба должны лежать в этой плоскости. Пусть это вершины $\text{A}$ и $\text{B}$. Но если точки лежат в плоскости зеркала, то они совпадают со своими изображениями: $A=A'$ и $B=B'$. В этом случае у нас есть только две различные вершины ($\text{A}$ и $\text{B}$), и четырехугольник не образуется.5. Если предположить, что в плоскости зеркала лежат другие вершины, например $\text{A}$ и $A'$, то это невозможно, так как точка и ее изображение могут лежать в плоскости зеркала только если они совпадают, а $\text{A}$ и $A'$ различны (если только точка $\text{A}$ не лежит на зеркале). Если $\text{A}$ на зеркале, то $A=A'$, и мы имеем только 3 вершины ($A, B, B'$), которые образуют треугольник.Единственный случай, когда это возможно, — это квадрат. У квадрата, кроме диагоналей, осями симметрии являются также прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Именно такая конфигурация и была рассмотрена в пункте а). Однако у квадрата все углы равны 90°, а не 60°.Таким образом, четырехугольник, образованный двумя точками и их изображениями, не может быть ромбом с углом 60°.

Ответ: Нет, не может.