Номер 10, страница 55, часть 2 - гдз по физике 8 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 7. Постоянный электрический ток. Параграф 50. Параллельное соединение проводников - номер 10, страница 55.

Условие.

10*. Определите, какое напряжение будет на резисторе $R_4$ в схемах, изображённых на рис. 30 (см. задачу 8*), если при подключении к точкам $\text{A}$ и $\text{B}$ источника тока напряжение на резисторе $R_1$ будет $U = 0,5 \text{ В}$.

a) ________.

б) ________.

в) ________.

г) ________.

Ответ: a) ________ б) ________ в) ________ г) ________.

Решение.

Дано:

Напряжение на резисторе $R_1$: $U_1 = 0,5$ В.

Сопротивления всех резисторов одинаковы: $R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R$.

Схема электрической цепи, согласно задаче 8* из referenced сборника задач, представляет собой мостовую схему (квадрат из четырех резисторов с одной диагональю). Узлы схемы пронумерованы от 1 до 4. Резистор $R_1$ соединяет узлы 1 и 2, $R_2$ - узлы 2 и 3, $R_3$ - узлы 3 и 4, $R_4$ - узлы 4 и 1, а диагональный резистор $R_5$ - узлы 1 и 3.

Найти:

Напряжение на резисторе $R_4$ ($U_4$) для четырех различных случаев подключения источника тока к точкам A и B.

Решение:

Обозначим напряжение на резисторе $R_k$ как $U_k$, а потенциал узла $\text{n}$ как $\varphi_n$.

а) Источник подключен к узлам 1 и 3

В этом случае источник подключен параллельно трем ветвям: 1) резистор $R_5$; 2) последовательно соединенные резисторы $R_1$ и $R_2$; 3) последовательно соединенные резисторы $R_4$ и $R_3$.

Напряжение на каждой из параллельных ветвей равно напряжению источника $U_{13}$.

Напряжение на резисторе $R_1$ ($U_1$) связано с напряжением на всей ветви 1-2-3. Так как $R_1 = R_2 = R$, напряжение $U_{13}$ делится поровну между ними.

$U_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} U_{13} = \frac{R}{R + R} U_{13} = \frac{1}{2} U_{13}$.

Из условия $U_1 = 0,5$ В, находим напряжение источника:

$U_{13} = 2 \cdot U_1 = 2 \cdot 0,5 \text{ В} = 1$ В.

Резистор $R_4$ находится в ветви 1-4-3. Аналогично, так как $R_4 = R_3 = R$, напряжение на $R_4$ составляет половину напряжения на всей ветви:

$U_4 = \frac{R_4}{R_4 + R_3} U_{13} = \frac{R}{R + R} U_{13} = \frac{1}{2} U_{13}$.

Подставляем найденное значение $U_{13}$:

$U_4 = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ В} = 0,5$ В.

Ответ: $U_4 = 0,5$ В.

б) Источник подключен к узлам 2 и 4

Это классическая схема моста Уитстона. Источник подключен к точкам 2 и 4. Резистор $R_5$ является "мостом" между точками 1 и 3.

Поскольку все сопротивления равны ($R_1=R_2=R_3=R_4=R$), мост является сбалансированным. Это означает, что потенциалы в узлах 1 и 3 равны ($\varphi_1 = \varphi_3$), и ток через резистор $R_5$ не течет. Следовательно, резистор $R_5$ можно мысленно удалить из схемы.

Оставшаяся схема состоит из двух параллельных ветвей: 1) $R_1$ и $R_4$ соединены последовательно; 2) $R_2$ и $R_3$ соединены последовательно.

Напряжение на резисторе $R_1$ (ветвь 2-1-4):

$U_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_4} U_{24} = \frac{R}{R + R} U_{24} = \frac{1}{2} U_{24}$.

Из условия $U_1 = 0,5$ В, находим напряжение источника:

$U_{24} = 2 \cdot U_1 = 2 \cdot 0,5 \text{ В} = 1$ В.

Напряжение на резисторе $R_4$ находится из той же ветви 2-1-4:

$U_4 = \frac{R_4}{R_1 + R_4} U_{24} = \frac{R}{R + R} U_{24} = \frac{1}{2} U_{24}$.

Подставляем найденное значение $U_{24}$:

$U_4 = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ В} = 0,5$ В.

Ответ: $U_4 = 0,5$ В.

в) Источник подключен к узлам 1 и 2

Источник подключен параллельно резистору $R_1$. Следовательно, напряжение источника равно напряжению на $R_1$: $U_{12} = U_1 = 0,5$ В.

Для нахождения напряжения на $R_4$ ($U_4 = |\varphi_1 - \varphi_4|$) воспользуемся методом узловых потенциалов. Примем потенциал узла 2 равным нулю ($\varphi_2 = 0$), тогда потенциал узла 1 будет $\varphi_1 = 0,5$ В.

Запишем уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 3 и 4 (сумма токов, вытекающих из узла, равна нулю):

Для узла 3: $\frac{\varphi_3 - \varphi_2}{R_2} + \frac{\varphi_3 - \varphi_4}{R_3} + \frac{\varphi_3 - \varphi_1}{R_5} = 0$.

Так как все $\text{R}$ равны, получаем: $(\varphi_3 - 0) + (\varphi_3 - \varphi_4) + (\varphi_3 - 0,5) = 0 \implies 3\varphi_3 - \varphi_4 = 0,5$.

Для узла 4: $\frac{\varphi_4 - \varphi_3}{R_3} + \frac{\varphi_4 - \varphi_1}{R_4} = 0$.

$(\varphi_4 - \varphi_3) + (\varphi_4 - 0,5) = 0 \implies 2\varphi_4 - \varphi_3 = 0,5$.

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 3\varphi_3 - \varphi_4 = 0,5 \\ -\varphi_3 + 2\varphi_4 = 0,5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\varphi_3 = 2\varphi_4 - 0,5$ и подставим в первое:

$3(2\varphi_4 - 0,5) - \varphi_4 = 0,5 \implies 6\varphi_4 - 1,5 - \varphi_4 = 0,5 \implies 5\varphi_4 = 2 \implies \varphi_4 = 0,4$ В.

Напряжение на резисторе $R_4$ равно разности потенциалов между узлами 1 и 4:

$U_4 = |\varphi_1 - \varphi_4| = |0,5 - 0,4| \text{ В} = 0,1$ В.

Ответ: $U_4 = 0,1$ В.

г) Источник подключен к узлам 1 и 4

Источник подключен параллельно резистору $R_4$. Следовательно, искомое напряжение $U_4$ равно напряжению источника $U_{14}$.

Используем метод узловых потенциалов. Примем $\varphi_4 = 0$, тогда $\varphi_1 = U_{14}$.

По условию $U_1 = |\varphi_1 - \varphi_2| = |U_{14} - \varphi_2| = 0,5$ В.

Запишем уравнения Кирхгофа для узлов 2 и 3:

Для узла 2: $\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{R_1} + \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{R_2} = 0$.

$(\varphi_2 - U_{14}) + (\varphi_2 - \varphi_3) = 0 \implies 2\varphi_2 - \varphi_3 = U_{14}$.

Для узла 3: $\frac{\varphi_3 - \varphi_2}{R_2} + \frac{\varphi_3 - \varphi_4}{R_3} + \frac{\varphi_3 - \varphi_1}{R_5} = 0$.

$(\varphi_3 - \varphi_2) + (\varphi_3 - 0) + (\varphi_3 - U_{14}) = 0 \implies 3\varphi_3 - \varphi_2 = U_{14}$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2\varphi_2 - \varphi_3 = U_{14} \\ -\varphi_2 + 3\varphi_3 = U_{14} \end{cases}$

Из первого уравнения $\varphi_3 = 2\varphi_2 - U_{14}$. Подставляем во второе:

$-\varphi_2 + 3(2\varphi_2 - U_{14}) = U_{14} \implies -\varphi_2 + 6\varphi_2 - 3U_{14} = U_{14} \implies 5\varphi_2 = 4U_{14} \implies \varphi_2 = \frac{4}{5}U_{14}$.

Теперь используем условие для $U_1$:

$U_1 = |U_{14} - \varphi_2| = |U_{14} - \frac{4}{5}U_{14}| = |\frac{1}{5}U_{14}| = 0,5$ В.

Отсюда находим напряжение источника (и на резисторе $R_4$):

$|U_{14}| = 5 \cdot 0,5 \text{ В} = 2,5$ В.

$U_4 = |U_{14}| = 2,5$ В.

Ответ: $U_4 = 2,5$ В.